Как выразить вектор через векторы: Что значит выразить вектор через другой вектор. Выражение отрезка в параллелограмме в виде вектора. Связь вектора с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

n называется базисом этого пространства. Любой вектор пространства можно разложить по базисным векторам, причем единственным образом. Поэтому при ответе на поставленный вопрос сначала следует обосновать линейную независимость возможного базиса и лишь после этого искать разложение в нем какого-либо вектора.

Обосновать линейную независимость системы очень просто. Составьте определитель,строки которого состоят из их «координат», и вычислите его. Если этот определитель отличен от нуля, то и векторы линейно независимы. Не забывайте, что размерность определителя может быть достаточно большой, и находить его придется разложением по строке (столбцу). Поэтому применяйте предварительные линейные преобразования (лучше только строк). Оптимальный случай – это доведение определителя до треугольного вида.

Например, для системы векторов е1=(1, 2, 3), e2=(2, 3, 2), e3(4, 8, 6) соответствующий определитель и его преобразования представлены на рисунке 1. Здесь на первом шаге первая строка умножалась на два и вычиталась из второй.n x=(x1, x2, … ,xn). При этом его можно представить в виде х=a1e1+a2e2+…+anen,где(a1, a2, … ,an) коэффициенты искомого разложения х по базису(e1, e2, … , en).

Последнюю линейную комбинацию перепишите подробнее, подставляя вместо векторов соответствующие наборы чисел: (x1, x2,…, xn)=a1(e11, e12,..,e1n)+ a2(e21, e22,..,e2n)+…+ an(en1, en2,..,enn).Полученное перепишите в виде системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (a1, a2, … ,an) (см. рис. 2). Так как векторы базиса линейно независимы, то система имеет единственное решение (a1, a2, … ,an). Разложение вектора по заданному базису найдено.

Содержание

8 класс. Геометрия. Векторы. Применение векторов к решению задач. — Сложение и вычитание векторов.

Комментарии преподавателя

Сло­же­ние и вы­чи­та­ние век­то­ров

На преды­ду­щем уроке мы опре­де­ли­ли по­ня­тие век­то­ра, ска­за­ли, какие век­то­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, кол­ли­не­ар­ны­ми, со­на­прав­лен­ны­ми и про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми.

Те­перь пусть за­да­но два век­то­ра – век­то­ра  и . Най­дем сумму этих двух век­то­ров . Для этого от­ло­жим из неко­то­рой точки А век­тор . Из точки В от­ло­жим век­тор . Тогда век­тор  на­зы­ва­ют сум­мой за­дан­ных век­то­ров:  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Дан­ное опре­де­ле­ние можно объ­яс­нить так: пусть был задан груз, и сна­ча­ла на него по­дей­ство­ва­ла сила  – он пе­ре­ме­стил­ся из точки А в точку В, после этого по­дей­ство­ва­ла сила  – груз пе­ре­ме­стил­ся из точки В в точку С. Но в ре­зуль­та­те дей­ствия двух этих сил груз пе­ре­ме­стил­ся из точки А в точку С.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли опре­де­ле­ние суммы двух век­то­ров – пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Для того чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из конца по­лу­чен­но­го век­то­ра от­ло­жить вто­рой век­тор, и по­стро­ить век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го с кон­цом вто­ро­го – это и будет сумма двух век­то­ров.

Можно про­ве­сти ана­ло­гию с чис­ла­ми. Мы ввели по­ня­тие числа, на­учи­лись скла­ды­вать числа, опре­де­ли­ли за­ко­ны сло­же­ния и так далее. Те­перь мы ввели по­ня­тие век­то­ра, на­учи­лись на­хо­дить рав­ные век­то­ра, скла­ды­вать век­то­ра. Те­перь нужно опре­де­лить за­ко­ны сло­же­ния.

За­ко­ны сло­же­ния век­то­ров

Для любых век­то­ров ,  и  спра­вед­ли­вы сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

 – пе­ре­ме­сти­тель­ный закон.

До­ка­за­тель­ство: от­ло­жим из точки сна­ча­ла век­тор , по­лу­ча­ем точку В, из нее от­кла­ды­ва­ем век­тор , по­лу­ча­ем точку С и век­тор .

Те­перь от­ло­жим из точки А сна­ча­ла век­тор  по­лу­чим точку В, из нее от­ло­жим век­тор, по­лу­чим точку С и век­тор .

Чтобы до­ка­зать ра­вен­ство по­лу­чен­ных век­то­ров, вы­пол­ним оба по­стро­е­ния из одной точки и по­лу­чим таким об­ра­зом пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 2).

Рис. 2

От­кла­ды­ва­ем из точки А век­тор  и век­тор . Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор , век­то­ра  и  равны, а зна­чит, сто­ро­ны ВС и АВ1 че­ты­рех­уголь­ни­ка АВСВ1 па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но па­рал­лель­ны и сто­ро­ны АВ и В1С, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли па­рал­ле­ло­грамм. АС – диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма. , таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли пе­ре­ме­сти­тель­ный

Рис. 3

закон сло­же­ния век­то­ров и по­лу­чи­ли пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 3).

Пра­ви­ло па­рал­ле­ло­грам­ма

Чтобы по­лу­чить сумму двух век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить эти два век­то­ра и по­стро­ить на них па­рал­ле­ло­грамм. Диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, ис­хо­дя­щая из на­чаль­ной точки, и будет сум­мой за­дан­ных век­то­ров.

 – со­че­та­тель­ный закон;

Из про­из­воль­ной точки А от­ло­жим век­тор , при­ба­вим к нему век­тор , по­лу­чим их сумму . К этой сумме при­ба­вим век­тор , по­лу­чим ре­зуль­тат  (см. Рис. 4).

Рис. 4

В пра­вой части вы­ра­же­ния мы сна­ча­ла по­лу­чи­ли сумму век­то­ров , после при­ба­ви­ли ее к век­то­ру  и по­лу­чи­ли ре­зуль­тат:  (см. Рис. 5).

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли со­че­та­тель­ный закон сло­же­ния век­то­ров.

Рис. 5

Пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка

Чтобы сло­жить несколь­ко век­то­ров, нужно из про­из­воль­ной точки от­ло­жить пер­вый век­тор, из его конца от­ло­жить вто­рой век­тор, из конца вто­ро­го век­то­ра от­ло­жить тре­тий и так далее; когда все век­то­ры от­ло­же­ны, со­еди­нив на­чаль­ную точку с кон­цом по­след­не­го век­то­ра, по­лу­чим сумму несколь­ких век­то­ров (см. Рис. 6).

Рис. 6

По ана­ло­гии с дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми после того, как мы на­учи­лись их скла­ды­вать, нужна об­рат­ная опе­ра­ция – вы­чи­та­ние.

Пусть за­да­но два век­то­ра – век­то­ры  и . Най­дем раз­ность этих двух век­то­ров .

Опре­де­ле­ние

Раз­но­стью двух век­то­ров  и  на­зы­ва­ют такой тре­тий век­тор, сумма ко­то­ро­го с век­то­ром  равна век­то­ру .

Если задан век­тор , то можно по­стро­ить про­ти­во­по­лож­ный ему век­тор , ко­то­рый будет равен по длине, но про­ти­во­на­прав­лен. Сумма про­ти­во­по­лож­ных век­то­ров все­гда есть ну­ле­вой век­тор: . Таким об­ра­зом, .

От­ло­жим из про­из­воль­ной точки век­тор , из его конца от­ло­жим век­тор , по­лу­чим в ре­зуль­та­те век­тор  (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рас­смот­рим вы­чи­та­ние век­то­ров на па­рал­ле­ло­грам­ме. Из точки А от­ло­жим век­то­ры  и . Из точек В и D от­ло­жим век­то­рв  и  со­от­вет­ствен­но. Диа­го­наль АС – это сумма век­то­ров  и : . Но в па­рал­ле­ло­грам­ме есть еще вто­рая диа­го­наль – BD. При­ба­вим к век­то­ру  век­тор , по­лу­чим век­тор  (см. Рис. 8).

Рис. 8

Итак, на дан­ном уроке мы вы­ве­ли пра­ви­ла сло­же­ния и вы­чи­та­ния век­то­ров при по­мо­щи тре­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ло­грам­ма, сфор­му­ли­ро­ва­ли за­ко­ны сло­же­ния век­то­ров.

ИСТЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov

http://www.youtube.com/watch?v=r8icqcsv5AQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/4-test-po-geometrii-9-klass-tema-slozhenie-i-vychitanie-vektorov-variant-1.html

http://gdz-matem.ru/8class/25-9.2-slozhenie-i-vychitanie-vektorov.html

 

http://www.lenbaza.ru/baza/pict/111.jpg

 

Векторы

Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .

Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: . Так как  – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор  . Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то . А вектор – часть . Какая часть? Так как соотношение , то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор – это три части из четырех, то есть . Теперь объединяем весь путь от А к М: .

Теперь так же поступим с вектором : пройдем от точки М к D: . Вектор . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору и параллелен ему, но вектор направлен вверх, а вектор – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): , тогда . Теперь записываем весь путь: .

 

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор является суммой векторов и : , ну а – его половина, поэтому .

Выразим вектор : по длине он равен вектору , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор на (-1): . Тогда , или , и аналогично

Теперь нам нужно получить вектор , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда . , а вектор мы уже нашли ранее. Получим:

Векторы и получим из чисто арифметических соображений: ;

Получим векторы . Так как отношение , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: .

Чтобы получить вектор , пройдем от точки М к С: . , , получаем:

Чтобы получить вектор , пройдем от точки B к М: . , , получаем:

Остался последний: вектор . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда или , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут:

 

 

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .

, тогда

 

Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что .

, , .

Теперь сложим все три выражения:

, или, вынося за скобки дробь ,

Но , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

, ч.т.д.

 

 

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .

.

.

.

.

.

.

Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: .

 

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .

Так как , а , то , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.



Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) , ; б) ; ; в) ; ; г) ; .

 

Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

Задача 9.  Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.

a)      Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:

. Запишем:

 

б)  . Тогда:

Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:

Корни:

Ответ: а)

б) либо

 

Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,

Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая:

а) Запишем расстояние от точки А до точки N: ,

.

Запишем расстояние от точки B до точки N:

Приравниваем расстояния:

Таким образом, искомая точка –

б) Запишем расстояние от точки С до точки N: ,

.

Запишем расстояние от точки D до точки N:

Приравниваем расстояния:

Таким образом, искомая точка –

 

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .

Найдем  координаты векторов сторон такого четырехугольника.  Тогда координаты вектора AB будут: , , .

Найдем координаты вектора DC: , , .

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: , , .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: , проверим, выполняется ли оно:  – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он  – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: . Найдем длины векторов  и .

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

 

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а  второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: , , , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: , 

Длина искомой медианы:

Ответ: .

 

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Координаты вершин треугольника будут: , , .

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС,  а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: ,  . Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого и  .

Расстояние между двумя точками выражается формулой:

Тогда

Ответ: .

 

Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство:

В треугольнике АМТ  АМ – гипотенуза. Тогда

В треугольнике CМK  CМ – гипотенуза. Тогда

Рассмотрим треугольник BMS:

А гипотенуза треугольника DMT:

Сложим квадраты:

Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: , ч.т.д.

Разложение вектора по базису, формулы и примеры

Определение и формулы разложения вектора по базису

Если для произвольного вектора и произвольной системы векторов выполняется равенство

   

то говорят, что вектор является линейной комбинации указанной системы векторов.

Если система векторов является базисом некоторого векторного пространства (то есть векторы – упорядоченная линейно независимая система векторов, и добавление к ней хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой), тогда разложение (1) называется разложением вектора по базису .

Коэффициенты линейной комбинации (1) называются координатами вектора в базисе .

Примеры разложения вектора по базису

ТЕОРЕМА

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор по базису , необходимо найти такие коэффициенты , при которых линейная комбинация базисных векторов равна вектору :

   

ПРИМЕР
Задание Написать разложение вектора по векторам , ,
Решение Векторы заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:

   

Запишем это равенство в векторной форме:

   

При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:

   

Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:

   

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов разложения:

   

Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:

   

Вычислим теперь вспомогательные определители системы:

   

   

   

Тогда

   

Следовательно, искомое разложение

   

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

здравствуйте тема данного видео урока и разложение вектора по данным не коллинеарны виктора для начала давайте докажем следующую лемму кстати ли мы называется некоторые вспомогательной теоремы наша лема следующее что если у вас есть 2 коллинеарные вектора то можно представить один из них можно представить в виде некоторое число к умножено на другой вектор точно так же мы можем сказать что вектор a равняется некоторое число х умноженное на вектор b давайте это докажем если у нас два векторы коллинеарны то у нас возможны два случая а именно они со направлены либо противоположно направлены рассмотрим первый случай они со направлены тогда возьмем число к равное следующему равное длине вектора b день деленная на длину вектора а это у нас не какое-то конкретное число и тогда вектор b действительно можно представить в таком виде давайте проверим как умножить на вектор а мы получим вот такой вот вектор этот вектор так как число к у нас положительность сон направлен с вектором b теперь найдем длину этого вектора то есть найдем длину такого вектора к а если это вина кажется равна длине vectra b получается эти два вектора со направлены и имеет одинаковую длину значит они действительно равны мы знаем по определение что это будет длина модуль к умножить на длину вектора но длина модуль к это длина вектора b делена длину вектора а умножаем на длину вектора а это сокращается это будет длина вектора b таким образом эти два вектора вот этот вектор и вектор b сон оправленный имеет одинаковую длину значит они равны это действительно b равняется вот этому вектору k умножить на что я требую заказать второй случай оказывается практически аналогично когда виктора противоположно направлены единственное отличие что отличие что в этом случае мы берем к равное минус и тоже самое попробуйте дальнейшие доказательства проделать сами доказывается аналогично таким образом для двух календарных викторов один из них всегда можно представить в виде k умножить на вектор на другой вверх пусть она заданы три вектора а бойцы говорят что вектор c разложен по векторам а и б если он представлен виде некоторое число x на вектор а плюс некоторое число y на вектор b тогда говорят что числе cтарт цель разложен по векторам а и b x и y называется коэффициентами разложения докажем следующий теорему любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным не коллинеарны виктором то есть представить в виде x плюс y б где они коленями вектру б причем коэффициенты разложения и xxi века определяется единственным образом то есть у нас есть вектор некоторые а не коллинеарны ему вектор b есть произвольный вектор c которые нам нужно разложить по этим двум векторам для того чтобы доказать мы рассмотрим два случая первый случай довольно простой когда вектор c коли не ори одному из этих векторов например вектору а то есть вектор c кольнем вектору а вот только что доказанной lime мы можем вектор c представить в виде к умноженное на а если мы добавим к этому 0 умноженное на вектор b от этого ничего не изменится но получается что мы вектор c разложили по векторам а и b что это ребус доказать данном случае коэффициенты разложения это к и 0 теперь рассмотрим второй случай второй случай когда вектор c николини аррен вектору а и и не калинин вектору b в этом случае делаем следующее берем нектар точку от него откладываем вектор а от него же откладываем вектор b и вектор c надо попробовать разложить вектор c по этим двум векторам поступать следующим образом через конец vectra c проводит прямую которая параллельна прямой параллельно вот этому вектору продолжаем прямую которая содержит вектор b и они пересекаются в некоторой точке теперь давайте обозначим эту точку а b и c тогда вектор c мы можем представить в виде вектор a b плюс вектор bc ну вектор а б у нас калинин вектору b потому что они лежат на одной прямой вектор bc калине аррен вектору а потому что эти две прямые параллельны таким образом и вектор b и вектор bc мы можем выразить через а и b допустим вектор bc выражается коэффициенты икс а вектор а б с коэффициентом y таким образом вектор c мы разложили по двум не коллинеарны виктором что и требовалось доказать теперь как я сказал коэффициенты разложения определяется единственным образом то есть нам нужно доказать что нет других чисел x y которая дает нам вот такое равенство доказывается это от противного предположим что есть и другое разложение другими коэффициентами то есть вектор c мы можем представить в виде некоторые x1 а плюс некоторые y 1б теперь найдем разность этих двух выражений давайте перейдем сюда слева у нас получится вектор c минус вектор c это у нас нулевой вектор равняется x а минус x1 а мы можем вылез вынести вектор а будет икс минус икс один а плюс аналогично игрек минус игрек один б тогда мы можем отсюда выразить допустим вектор а и вектор а будет равняться игрек минус игрек один деленное на x 1 минус x умножить на вектор b мы просто перенесли и разделили на коэффициент и забыли про знак минус таким образом у нас вектор а представляется в некоторое число умноженное на вектор b причем это число не 0 потому что у нас видеть коэффициенты различные ну тогда получается вектор а коли не ори вектору b а у нас полуслове вектор a и b не коллинеарны поэтому это невозможно то есть мы пришли в противоречие значит коэффициенты икс игрек определяется единственным образом и того любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным не коллинеарны виктором причем коэффициенты разложения определяется единственным образом давайте рассмотрим такой пример пусть у нас есть параллелограмм abcd пусть вектор а б у нас равен вектору а и вектора d равен вектору b давайте отметим на стороне b цвет середину допустим е и попробуем выразить вектор b и скажем е д и например а.е. через вектора а и b смотрим вектор a и b у нас не коллинеарны естественно они не корням они исходят из одной точки и не лежат на одной прямой значит под предыдущей теореме мы можем выразить все эти вектора через эти два вектора причем коэффициенты разложения будут единственными начнем с вектор b и вектор b и выражается очень легко так как и мы сказали это серединка если она середина тут длина б и в два раза меньше чем pc а в вектор bc равен вектору b таким образом бы ей это половина вектора b но мы хотим выразить еще через а поэтому у а будет коэффициент просто ноль то есть это 0 на вектор а плюс 1 2 на вектор b вот мы выразили вектор b и попробуем выразить вектор еды как можем выразить вектор еды его мы можем выразить различными способами один из них следующий иди будет равняться и c + cd вектор яйце плюс вектор cd чему будет равняться вектор яйце он как и вектор b и это равняется 1 2 б чему равняется вектор cd вектор cd мы видим что он противоположный к вектору а то есть он равняется минус вектор а таким образом еды мы снова выразили через вектора а и b коэффициент разложения данном случае -1 и 1 2 и осталась вектор ае ае мы можем выразить через а b&b и либо можем выразить через например ad&d и давайте в данном случае легкий способ это а b&b и потому что у нас известно иа b&b и но я хочу давайте попробуем сделать его через ad&d и то есть и это а.д. плюс вектор дает теперь вектор а.д. это у нас b теперь мне нужно вектор d и как я получу вектор d и у нас есть вектор d он равняется такому а вектор дай ему противоположны значит вектор d и я могу предстать как и тот же вектор только с противоположными знаками минус 1 2 б тогда минус минус будет плюс а отсюда легко получить что это будет а плюс 1 2 б такой же результат мы бы получили если вы пошли этим путем а b&b и таким образом вот мы выразили три вектора через два данных где коллинеарные вектора причем коэффициент у нас везде по теореме определяется единственным образом она этом данный видео урок окончен [музыка]

основные понятия. Координаты вектора. Длина вектора

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись на различиях между скалярными и векторными величинами.

В приведенной ниже таблице «Не векторы» — это скалярные величины или просто скаляры, а «Векторы» — векторные величины.

Не векторыВекторы
МассаСила тяжести
ДлинаПуть
ВремяУскорение
ПлотностьДавление
ТемператураСкорость
Объем
Площадь
Модуль вектора

Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Числовое значение вектора — длина, а физическое и геометрическое — направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор — это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .

А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.


Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.


Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)


Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка


Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.


В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор — это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления и длины считаются равными.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0yосью ординат, и ось 0zосью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через



Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz


Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 1. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства


следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 2. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 3. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 4. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

Как правильно найти координаты вектора через координаты точек

Время чтения: 16 минут

327

Определение

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектор изображается в виде направленных отрезков определенной длины.

Рис. 1.

Вектор, имеющий начальную точку А и конечную точку В, обозначается \[\overrightarrow{A B}\](рис. 1).

Определения

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора \[\overrightarrow{A B}\]. Длина вектора \[\overrightarrow{A B}\] обозначается как: \[|\overrightarrow{A B}|\]

Векторы параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными векторами.

Определение

Единичный вектор или орт — это вектор, длина которого равна единице.

Рис. 3.

Правило нахождения координат вектора

Отложим от начала системы координат два единичных вектора, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора \[\bar{i}\] должно совпадать с осью \[O x\], а направление вектора \[\bar{j}\] с осью \[O y\].

Векторы  \[\bar{i}, \bar{j}\] — рассматриваемые векторы называются векторами координат или ортами. Эти векторы образуют базис поверхности. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости.

Обозначение: базис обычно пишется в круглых скобках, внутри которых в строгом порядке перечисляются векторы.

Любой вектор плоскости выражается по формуле нахождения координат вектора:

\[\vec{v}=v_{1} \cdot \vec{i}+v_{2} \cdot \vec{j}\]

Где числа в этом базисе называются векторными координатами. Но само выражение называется векторным разложением.

Как выразить вектор через его координаты

Чтобы выразить вектор \[\overrightarrow{A B}(a, b)\], где \[A\left(x_{1} ; y_{1}\right)\], а \[B\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], сначала вычислим разницу между абсциссами \[x\], чтобы получить \[a\], затем вычислим разницу между ординатами \[y\], чтобы получить \[b\]:

\[\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1} ; y_{2}-y_{1}\right)\]


Пример 1 

Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\] при значении координат точек \[A(3 ; 2), B(6 ; 9)\].

Рис. 4.

Решение:

Горизонтальное расстояние равно разнице между абсциссами \[x\], т.е. 6−3=3. Вертикальное расстояние равно разнице между ординатами \[y\], где 9−2=7.

Поэтому мы можем обозначить вектор от А до В как:

\[\overrightarrow{A B}=(3 ; 7)\]

Нахождение координат вектора в пространстве

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь все почти так же, как на плоскости, но будет добавлена ​​только одна дополнительная координата.

Рис. 5.

Любой вектор в пространстве выражается следующим образом:

\[\vec{v}=v_{1} \cdot \vec{i}+v_{2} \cdot \vec{j}+v_{3} \cdot \vec{k}\], где координаты вектора (числа) в заданном базисе.


Пример 2

Нужно найти вектор, соединяющий точку А (начало) с координатами (4, 5, 6) с точкой В (конец) с координатами (10, 11, 12).

Решение:

Вектор направлен из точки А в точку В и может быть обозначен как \[\overrightarrow{A B}\]. Таким образом:

\[\overrightarrow{A B}=(10-4) ;(11-5) ;(12-6)=(6 ; 6 ; 6)\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Как записать вектор на основе единичных векторов

Если мы перейдем от начальной точки к конечной точке \[C\left(x_{y} ; y_{1}\right) D\left(x_{2} ; y_{2}\right)\], это описывает вектор, который представляет собой смещение на расстояние в направлении \[\overrightarrow{C D}\left(x_{2}-x_{1}\right) x\] затем с расстояния в направлении \[\left(y_{2}-y_{1}\right) y\].

Рис. 6.

Мы можем обозначить этот вектор двумя способами:

\[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right)\] или \[\overrightarrow{C D}=\left(x_{2}-x_{1}\right) i+\left(y_{2}-y_{1}\right) \vec{j}\]


Пример 3

Выразить вектор в виде суммы единичных векторов.

Зная, что каждый квадрат сетки имеет длину 1, представим вектор \[\overrightarrow{A B}\] как \[a \vec{i}+b \vec{j}\].

Рис. 7.

Решение:

Из точки \[A\](начало), мы перемещаем единицы в горизонтальном направлении (которое представляет собой вектор), затем мы перемещаем единицы в вертикальном направлении (что представляет собой вектор), чтобы перейти к точке \[B+2(2 \vec{i}) u+3(3 \vec{j})\].

Вектор \[\overrightarrow{A B}\] что представляет собой прямое движение от \[A\] к \[B\] , тогда равна сумме этих единичных векторов.

Рис. 8.

Как результат: \[\overrightarrow{A B}=2 \vec{i}+3 \vec{j}=(2,3)\].

Использование векторов и позволяет описать вектор в соответствии с количеством шагов по горизонтали и вертикали длиной 1, которые необходимо сделать, чтобы пройти от начала до конца. Обратите внимание, что отрицательные коэффициенты представляют движение влево или вниз соответственно.

Рис. 9.

Например, приведенный выше вектор, представляющий смещение на -2 единицы в направлении и на -3 единицы в направлении \[\overrightarrow{A B}=(-2 ;-3) x y\] или \[(-2 \vec{i})+(-3 \vec{j})\].

\[\overrightarrow{A B}=-2 \vec{i}-3 \vec{j}\]

Важно

Следует понимать разницу между координатами точки и векторными координатами:

Координаты точки — это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка имеет строгое место на карте, и их нельзя никуда перемещать.

Координаты вектора — это его разложение относительно основания.

Любой вектор свободен, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от другой точки плоскости. Записи координат точек и векторных координат выглядят одинаков, а значение координат совсем разные.

Координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка начала вектора не совпадает с началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. На оси \[O_{x y}\] заданы координаты точек вектора, где \[A\left(x_{a} ; y_{a}\right)\] и \[B\left(x_{b} y_{b}\right)\]. Найти координаты \[\overrightarrow{A B}\].

Рис. 10.

Зная формулу сложения векторов, имеем \[\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}\], следует: \[\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\].

\[\overrightarrow{O A}\] и \[\overrightarrow{O B}\] радиус-векторы точек А и В, следовательно, координаты точек: \[\overrightarrow{O A}=\left(x_{a}, y_{a}\right), \overrightarrow{O B}=\left(x_{b} ; y_{b}\right)\].

Оценить статью (46 оценок):

Умеешь писать статьи?
Разбираешься в теме?

Популярные статьи

Видео с вопросами

: Использование операций над векторами для выражения вектора через два других вектора

Стенограмма видео

Учитывая, что вектор 𝐀 равен отрицательной четвёрке, отрицательной единице и вектор 𝐁 равен отрицательной двойке, отрицательной единице, выразить вектор 𝐂, равный отрицательной восьмерке, отрицательной единице, через векторы 𝐀 и 𝐁.

Здесь нас попросили выразить один вектор 𝐂 через два других вектора 𝐀 и 𝐁.Это означает, что мы хотим записать 𝐂 как 𝑚𝐀 плюс 𝑘𝐁 для некоторых скалярных значений 𝑚 и 𝑘. То есть некоторое кратное 𝐀 плюс некоторое кратное 𝐁. Мы можем заменить 𝐀, 𝐁 и 𝐂 их компонентами, и мы получим векторное уравнение. Вектор минус восемь, минус один равен 𝑚, умноженному на вектор минус четыре, минус один плюс 𝑘, умноженному на вектор минус два, минус один. Затем мы вспоминаем, что для умножения вектора на скаляр мы просто умножаем каждый из его компонентов на этот скаляр.

Итак, чтобы умножить вектор минус четыре, минус один на 𝑚, мы сначала умножим 𝑚 на минус четыре, получив первую компоненту минус четыре 𝑚. А затем мы умножаем 𝑚 на отрицательную единицу, получая вторую составляющую отрицательной 𝑚. Точно так же, чтобы умножить вектор минус два, минус один на 𝑘, мы сначала умножаем 𝑘 на минус два, давая первый компонент минус два 𝑘. А затем мы умножаем 𝑘 на отрицательную единицу, получая вторую составляющую отрицательной 𝑘. Далее нам нужно сложить вместе два вектора в правой части.А для этого напомним, что мы можем просто добавлять составные части.

Итак, первый компонент вектора в правой части будет суммой первых компонентов. Это минус четыре 𝑚 плюс минус два 𝑘, что мы можем записать как минус четыре 𝑚 минус два 𝑘. И тогда второй компонент будет суммой второго компонента в каждом векторе. Это минус 𝑚 плюс минус 𝑘, который мы можем записать как минус 𝑚 минус 𝑘. Итак, теперь мы имеем, что вектор минус восемь, минус единица равен вектору минус четыре 𝑚 минус два 𝑘, минус 𝑚 минус 𝑘.Здесь мы вспоминаем, что если два вектора равны, то это должно означать, что их отдельные компоненты равны.

Итак, первый компонент вектора в левой части должен быть равен первому компоненту в правой части. Это дает нам уравнение без каких-либо векторов. Минус восемь равен минус четыре 𝑚 минус два 𝑘. Таким же образом, приравнивая вторые компоненты в наших векторах, получаем уравнение отрицательной единицы равно отрицательному 𝑚 минус 𝑘. Теперь у нас есть пара линейных одновременных уравнений относительно скаляров 𝑚 и 𝑘.Итак, мы можем решить эти одновременные уравнения, чтобы найти их значения.

Во-первых, мы можем немного упростить каждое уравнение. Первое уравнение можно разделить на минус два, чтобы получить упрощенное уравнение два 𝑚 плюс 𝑘 равно четырем. А второе уравнение можно разделить на отрицательное, чтобы получить упрощенное уравнение 𝑚 плюс 𝑘 равно единице. Затем мы видим, что у нас есть одинаковый коэффициент 𝑘 в каждом из наших уравнений. Итак, если мы вычтем второе уравнение из первого, это устранит члены 𝑘.В левой части два 𝑚 плюс 𝑘 минус 𝑚 минус 𝑘 оставят нам 𝑚. А в правой части четыре минус один равно трем. Итак, по сути, мы нашли значение 𝑚. 𝑚 равно трем.

Затем мы можем подставить это значение 𝑚 в наше простейшее уравнение, которое представляет собой уравнение 𝑚 плюс 𝑘 равно единице. Итак, у нас есть три плюс 𝑘 равно одному. И это уравнение можно решить, вычитая по три с каждой стороны, чтобы получить 𝑘 равно минус два. Таким образом, мы нашли значения наших двух скаляров 𝑚 и 𝑘.Наконец, мы можем вернуться к утверждению, с которого начали, а именно, что вектор 𝐂 равен некоторому скаляру, умноженному на 𝐀, плюс некоторому скаляру, умноженному на 𝐁, и подставить значения 𝑚 и 𝑘.

Затем мы обнаружили, что вектор 𝐂 может быть выражен через векторы 𝐀 и 𝐁 как 𝐂 равно трем 𝐀 минус два 𝐁. Мы можем, конечно, проверить это вручную, пересчитав вектор три 𝐀 минус два 𝐁. И если мы это сделаем, то обнаружим, что получаем вектор минус восемь, минус единица, который действительно равен вектору 𝐂.Итак, наш ответ правильный.

Формула скалярного произведения через компоненты вектора

Геометрическое определение скалярного произведения гласит, что скалярное произведение двух векторов $\vc{a}$ и $\vc{b}$ равно $$\vc{a} \cdot \vc{b} = \|\vc{a}\| \|\vc{b}\| \cos\тета,$$ где $\theta$ — угол между векторами $\vc{a}$ и $\vc{b}$. Хотя эта формула удобна для понимания свойств скалярного произведения, формула скалярного произведения в терминах компонентов вектора облегчила бы вычисление скалярного произведения между двумя заданными векторами.

В качестве первого шага мы рассмотрим скалярное произведение между стандартными единичными векторами, т. е. векторами $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$ длины один и параллельными к осям координат.

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях: $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный) представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Дополнительная информация об апплете.

Поскольку стандартные единичные векторы ортогональны, мы немедленно заключаем, что скалярное произведение между парой различных стандартных единичных векторов равно нулю: \начать{выравнивать*} \vc{i} \cdot \vc{j} = \vc{i} \cdot \vc{k} = \vc{j} \cdot \vc{k}=0. \конец{выравнивание*} Скалярное произведение между единичным вектором и самим собой также просто вычислить. В этом случае угол равен нулю и $\cos\theta=1$. Учитывая, что все векторы имеют длину один, скалярные произведения равны \начать{выравнивать*} \vc{i} \cdot \vc{i} = \vc{j} \cdot \vc{j} = \vc{k} \cdot \vc{k}=1.\конец{выравнивание*}

Второй шаг — вычисление скалярного произведения двух трехмерных векторов. \начать{выравнивать*} \vc{a} &= (a_1,a_2,a_3) = a_1\vc{i} + a_2\vc{j}+a_3\vc{k}\\ \vc{b} &= (b_1,b_2,b_3) = b_1\vc{i} + b_2\vc{j}+b_3\vc{k}. \конец{выравнивание*} Для этого мы просто утверждаем, что для любых трех векторов $\vc{a}$, $\vc{b}$ и $\vc{c}$ и любого скаляра $\lambda$ \начать{выравнивать*} (\lambda\vc{a}) \cdot \vc{b} &= \lambda(\vc{a}\cdot\vc{b}) = \vc{a} \cdot (\lambda\vc{b} )\\ (\vc{a}+\vc{b}) \cdot \vc{c} &= \vc{a} \cdot \vc{c} + \vc{b}\cdot \vc{c}.\конец{выравнивание*} (Эти свойства означают, что скалярное произведение является линейным.)

Учитывая эти свойства и тот факт, что скалярное произведение коммутативно, мы можем разложить скалярное произведение $\vc{a} \cdot \vc{b}$ по компонентам, \начать{выравнивать*} \vc{a} \cdot \vc{b} &= (a_1\vc{i} + a_2\vc{j}+a_3\vc{k}) \cdot (b_1\vc{i} + b_2\vc{j}+b_3\vc{k}) \\ &= a_1b_1 \vc{i} \cdot \vc{i} + a_2b_2\vc{j}\cdot\vc{j} + a_3b_3\vc{k}\cdot\vc{k} \\ &\quad + (a_1b_2+a_2b_1)\vc{i}\cdot\vc{j} + (a_1b_3+a_3b_1)\vc{i}\cdot\vc{k} \\ &\quad + (a_2b_3+a_3b_2)\vc{j}\cdot \vc{k}.2$, еще проще. Дано \начать{выравнивать*} \vc{a} &= (a_1,a_2) = a_1\vc{i} + a_2\vc{j}\\ \vc{b} &= (b_1,b_2) = b_1\vc{i} + b_2\vc{j}, \конец{выравнивание*} мы можем использовать ту же формулу, но с $a_3=b_3=0$, \начать{собирать} \vc{a} \cdot \vc{b} = a_1b_1+a_2b_2 \label{dot_product_formula_2d}\tag{2}. \конец{собрать}

Вооружившись уравнениями \eqref{dot_product_formula_3d} и \eqref{dot_product_formula_2d}, вы можете быстро вычислить скалярные произведения, как показано в этих примерах.

Векторы — Механика — Математика A-Level Revision

Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет величину, поэтому направление не важно (примеры включают скорость, время и расстояние). Скаляр также может иметь знак (например, проделанная работа и заряд).

Векторы обычно представляются следующим образом:

Стрелка указывает направление, а число (в данном случае v) обозначает величину.

Буквы, используемые для обозначения векторов, всегда должны быть подчеркнуты или выделены жирным шрифтом. Например, скорость объекта может быть представлена ​​как v . Поскольку это векторная величина, она выделена жирным шрифтом. Маленькие буквы обычно используются для представления векторов.

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, величина которого равна 1. Обычно используются три важных единичных вектора, это векторы в направлении осей x, y и z.Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j и единичный вектор в направлении оси z равен k .

Запись векторов в этой форме может упростить работу с векторами.

Например, вектор 5 i — 3 j будет выглядеть на диаграмме примерно так:

Добавление векторов

Если два вектора складываются вместе, результирующее находится путем размещения векторов, которые нужно добавить, встык.Если векторы заданы в форме единичного вектора, вы просто складываете значения i , j и k .

Пример

p = 3 i + j , q = -5 i + j . Найдите p + q .

Так как векторы даны в форме i , j , мы можем легко вычислить результат. 3 i + j — 5 i + j = -2 i + 2 j

Это также можно было бы вычислить по диаграмме:

Величина вектора

Величина вектора может быть найдена с помощью теоремы Пифагора.

Разрешение вектора

Разгадка вектора означает нахождение его величины в определенном направлении.

На диаграмме выше вектор r имеет величину r и направление j относительно оси x. Используя основы тригонометрии, мы можем вычислить, что составляющая r в направлении оси x равна rcosj. Компонент в направлении оси Y равен rsinj. Поэтому r = rcosj i + rsinj j .

векторов | Безграничная физика

Компоненты вектора

Векторы представляют собой геометрические представления величины и направления и могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях.

Цели обучения

Контраст двухмерных и трехмерных векторов

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы можно разбить на две составляющие: величину и направление.
  • Взяв анализируемый вектор за гипотенузу, можно найти горизонтальную и вертикальную составляющие, составив прямоугольный треугольник.Нижний край треугольника — это горизонтальная составляющая, а сторона, противоположная углу, — вертикальная составляющая.
  • Угол, который вектор образует с горизонтом, можно использовать для вычисления длины двух компонентов.
Основные термины
  • координаты : Числа, указывающие положение относительно некоторой оси. Пример: координаты [латекс]\текст{х}[/латекс] и [латекс]\текст{у}[/латекс] указывают положение относительно [латекс]\текст{х}[/латекс] и [латекс]\текст {y}[/latex] оси.
  • ось : Воображаемая линия, вокруг которой вращается или симметрично располагается объект.
  • величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.

Обзор

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представляются прямыми стрелками, начинающимися в одной точке координатной оси и заканчивающимися в другой точке. Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое интересующее качество, так что вектор можно сравнить с другим вектором.Векторы, будучи стрелками, также имеют направление. Это отличает их от скаляров, которые представляют собой просто числа без направления.

Вектор определяется его величиной и ориентацией относительно набора координат. При анализе векторов часто бывает полезно разбить их на составные части. Для двумерных векторов эти компоненты горизонтальны и вертикальны. Для трехмерных векторов компонент величины одинаков, но компонент направления выражается в терминах [латекс]\текст{х}[/латекс], [латекс]\текст{у}[/латекс] и [латекс] \text{z}[/латекс].

Разложение вектора

Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала координат набора координат. Затем нарисуйте прямую линию от начала координат вдоль оси X, пока линия не сравняется с вершиной исходного вектора. Это горизонтальная составляющая вектора. Чтобы найти вертикальную составляющую, проведите прямую линию вверх от конца горизонтального вектора, пока не достигнете вершины исходного вектора. Вы должны обнаружить, что у вас есть прямоугольный треугольник, исходный вектор которого является гипотенузой.

Разложение вектора на горизонтальную и вертикальную составляющие — очень полезный метод для понимания физических задач. Всякий раз, когда вы видите движение под углом, вы должны думать о нем как о движении по горизонтали и вертикали одновременно. Такое упрощение векторов может ускорить вычисления и помочь отслеживать движение объектов.

Скаляры и векторы : Г-н Андерсен объясняет разницу между скалярными и векторными величинами.Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов.

Компоненты вектора : Исходный вектор, определенный относительно набора осей. Горизонтальная составляющая простирается от начала вектора до его самой дальней координаты x. Вертикальный компонент простирается от оси x до самой вертикальной точки вектора. Вместе две компоненты и вектор образуют прямоугольный треугольник.

Скаляры против векторов

Скаляры — это физические величины, представленные одним числом, а векторы представлены как числом, так и направлением.

Цели обучения

Найдите разницу между скалярами величин и векторами, представляющими

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Скаляры — это физические величины, представленные одним числом без направления.
  • Векторы — это физические величины, требующие как величины, так и направления.
  • Примеры скаляров включают высоту, массу, площадь и объем. Примеры векторов включают смещение, скорость и ускорение.
Основные термины
  • Оси координат : Набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Физические величины обычно можно разделить на две категории: векторы и скаляры. Эти две категории типизированы тем, какая информация им требуется. Векторы требуют двух частей информации: величины и направления. Напротив, для скаляров требуется только величина.О скалярах можно думать как о числах, тогда как о векторах следует думать скорее как о стрелках, указывающих в определенном направлении.

A Vector : Пример вектора. Векторы обычно представлены стрелками, длина которых представляет величину, а их направление представлено направлением, на которое указывает стрелка.

Для векторов требуется как величина, так и направление. Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим. В геометрической интерпретации вектора вектор изображается стрелкой.Стрелка состоит из двух частей, которые ее определяют. Две части — это его длина, которая представляет величину, и его направление относительно некоторого набора координатных осей. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Физические понятия, такие как перемещение, скорость и ускорение, являются примерами величин, которые могут быть представлены векторами. Каждая из этих величин имеет как величину (как далеко или как быстро), так и направление. Чтобы указать направление, должно быть что-то, относительно чего это направление.Обычно эта опорная точка представляет собой набор координатных осей, таких как плоскость x-y.

Скаляры отличаются от векторов тем, что не имеют направления. Скаляры используются в основном для представления физических величин, для которых направление не имеет смысла. Некоторые примеры из них: масса, высота, длина, объем и площадь. Говорить о направлении этих величин бессмысленно, поэтому их нельзя выразить в виде векторов.

Разница между векторами и скалярами, введение и основы : В этом видео представлена ​​разница между скалярами и векторами.Вводятся понятия о величине и направлении и приводятся примеры как векторов, так и скаляров.

Графическое сложение и вычитание векторов

Векторы можно складывать или вычитать графически, размещая их встык на наборе осей.

Цели обучения

Моделирование графического метода сложения и вычитания векторов

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Чтобы сложить векторы, положите первый из них на набор осей хвостом в начале координат.Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда больше нет векторов, проведите прямую линию от начала координат до начала последнего вектора. Эта линия является суммой векторов.
  • Чтобы вычесть векторы, действуйте так же, как при сложении двух векторов, но переверните вычитаемый вектор по осям, а затем соедините его хвост к началу, как при сложении.
  • Добавление или вычитание любого количества векторов дает результирующий вектор.
Основные термины
  • origin : Центр координатной оси, определяемый как координата 0 по всем осям.
  • Оси координат : Набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Сложение и вычитание векторов

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу. Поскольку векторы являются графическими визуализациями, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор координатных осей. Затем нарисуйте первый вектор так, чтобы его хвост (база) находился в начале осей координат. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение является коммутативным, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, является тем, который вы вычитаете из . Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (со стороны стрелки).Продолжайте размещать каждый вектор в начале предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут соединены вместе. Наконец, нарисуйте прямую линию от начала до начала последнего вектора в цепочке. Эта новая строка является векторным результатом сложения этих векторов.

Графическое сложение векторов : Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы разложили первый вектор вдоль набора координатных осей. Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого.Нарисуйте новый вектор от начала координат до начала последнего вектора. Этот новый вектор является суммой двух исходных.

Сложение векторов Урок 1 из 2: Метод сложения от начала до конца : Это видео знакомит зрителей со сложением и вычитанием векторов. В первом уроке показано графическое сложение, а во втором видео используется более математический подход и показано сложение векторов по компонентам.

Метод вычитания векторов аналогичен.Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, является тем, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так же, как при сложении напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвост к голове, как при сложении. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову туда, где был хвост, а хвост — туда, где была голова.

Добавление и вычитание векторов с помощью компонентов

Часто бывает проще складывать или вычитать векторы, используя их компоненты.

Цели обучения

Демонстрация сложения и вычитания векторов по компонентам

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы можно разложить на горизонтальные и вертикальные составляющие.
  • После разложения векторов на компоненты можно добавлять компоненты.
  • Сложение соответствующих компонентов двух векторов дает вектор, являющийся суммой двух векторов.
Основные термины
  • Компонент : Часть вектора.Например, горизонтальные и вертикальные компоненты.

Использование компонентов для сложения и вычитания векторов

Другой способ добавления векторов — добавление компонентов. Ранее мы видели, что векторы могут быть выражены через их горизонтальные и вертикальные компоненты. Чтобы добавить векторы, просто выразите их оба в терминах их горизонтальных и вертикальных компонентов, а затем сложите компоненты вместе.

Вектор с горизонтальной и вертикальной компонентами : вектор на этом изображении имеет величину 10.3 единицы и направление на 29,1 градуса выше оси x. Его можно разложить на горизонтальную часть и вертикальную часть, как показано на рисунке.

Например, вектор длиной 5, расположенный под углом 36,9 градусов к горизонтальной оси, будет иметь горизонтальную составляющую 4 единицы и вертикальную составляющую 3 единицы. Если бы мы добавили это к другому вектору той же величины и направления, мы бы получили вектор вдвое длиннее под тем же углом. Это можно увидеть, сложив горизонтальные компоненты двух векторов ([латекс]4+4[/латекс]) и два вертикальных компонента ([латекс]3+3[/латекс]).Эти добавления дают новый вектор с горизонтальной составляющей 8 ([латекс]4+4[/латекс]) и вертикальной составляющей 6 ([латекс]3+3[/латекс]). Чтобы найти результирующий вектор, просто поместите конец вертикального компонента в начало (со стороны стрелки) горизонтального компонента, а затем проведите линию от начала координат к началу вертикального компонента. Эта новая линия является результирующим вектором. Он должен быть в два раза длиннее оригинала, так как оба его компонента в два раза больше, чем были ранее.

Чтобы вычесть вектора по компонентам, просто вычтите два горизонтальных компонента друг из друга и сделайте то же самое для вертикальных компонентов. Затем нарисуйте результирующий вектор, как вы это делали в предыдущей части.

Сложение векторов Урок 2 из 2: Как складывать векторы по компонентам : Это видео знакомит зрителей с сложением векторов с использованием математического подхода и демонстрирует сложение векторов по компонентам.

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление.

Цели обучения

Суммируйте взаимодействие между векторами и скалярами

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.
  • Скаляр – это величина, имеющая только величину.
  • Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению величины вектора на скаляр. Вектор удлиняется или сжимается, но не меняет направление.
Основные термины
  • вектор : Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.
  • величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.
  • скаляр : Величина, имеющая величину, но не направление; сравнить вектор.

Обзор

Хотя векторы и скаляры представляют разные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали. Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их разных измерений в пространстве, можно умножить вектор на скаляр.Однако скаляр нельзя умножить на вектор.

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть модуль вектора на модуль скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведением двух величин.

Пример

Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножение его на скаляр a с величиной 0,5 даст новый вектор с величиной, равной половине исходной.Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым и безразмерным скаляром, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила представляет собой вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и направлена ​​вниз. Если масса тела удвоится, то и сила тяжести удвоится.

Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике. Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по сути являются скалярами, умноженными на вектор.Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, являющихся величинами: скаляра длины в метрах и скаляра времени в секундах. Чтобы сделать это преобразование из величин в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора [латекс]\текст{А}[/латекс] на скаляр [латекс]\текст{а}=0,5[/латекс] дает вектор [латекс]\текст{ B}[/latex], что в два раза меньше.(ii) Умножение вектора [latex]\text{A}[/latex] на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Удвоение массы (скалярной) удваивает силу (вектор) силы тяжести.

Единичные векторы и умножение на скаляр

Умножение вектора на скаляр равносильно умножению его величины на число.

Цели обучения

Предсказать влияние умножения вектора на скаляр

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Единичный вектор — это вектор величины (длины) 1.
  • Скаляр — это физическая величина, которую можно представить одним числом. В отличие от векторов скаляры не имеют направления.
  • Умножение вектора на скаляр аналогично умножению величины вектора на число, представленное скаляром.
Основные термины
  • скаляр : Величина, которая может быть описана одним числом, в отличие от вектора, для которого требуется направление и число.
  • Единичный вектор : Вектор величины 1.

Помимо сложения векторов, векторы также можно умножать на константы, известные как скаляры. Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены величиной, но не направлением. Примеры скаляров включают массу, высоту или объем объекта.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора A на 0,5 вдвое уменьшает его длину. (ii) Умножение вектора A на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Увеличение массы (скалярной) увеличивает силу (вектор).

При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра. Это приводит к тому, что новая стрелка вектора указывает в том же направлении, что и старая, но с большей или меньшей длиной. Вы также можете выполнить скалярное умножение, используя компоненты вектора. Получив компоненты вектора, умножьте каждый из компонентов на скаляр, чтобы получить новые компоненты и, следовательно, новый вектор.

Полезным понятием при изучении векторов и геометрии является понятие единичного вектора. Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице. Единичные векторы различны для разных координат. В декартовых координатах направления x и y обычно обозначаются как [латекс]\шляпа{\текст{х}}[/латекс] и [латекс]\шляпа{\текст{у}}[/латекс]. Треугольник над буквами называется «шляпой». Единичные векторы в декартовых координатах описывают окружность, известную как «единичная окружность», которая имеет радиус один.Это можно увидеть, взяв все возможные векторы длины один под всеми возможными углами в этой системе координат и поместив их в координаты. Если бы вы нарисовали линию, соединяющую все вершины всех векторов вместе, вы бы получили круг радиуса один.

Положение, перемещение, скорость и ускорение как векторы

Позиция, смещение, скорость и ускорение могут отображаться в виде векторов, поскольку они определяются в терминах величины и направления.

Цели обучения

Изучение применения векторов для анализа физических величин

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Векторы — это стрелки, состоящие из величины и направления. Они используются в физике для представления физических величин, которые также имеют как величину, так и направление.
  • Смещение — это физический термин, означающий расстояние объекта от контрольной точки. Поскольку смещение содержит две части информации: расстояние от опорной точки и направление от точки, оно хорошо представлено вектором.
  • Скорость определяется как скорость изменения смещения во времени. Чтобы узнать скорость объекта, нужно знать, как быстро меняется смещение и в каком направлении. Поэтому он также хорошо представлен вектором.
  • Ускорение, являющееся скоростью изменения скорости, также требует как величины, так и направления относительно некоторых координат.
  • При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то указать, в каком масштабе они рисуются.
Основные термины
  • скорость : Скорость изменения смещения по отношению к изменению во времени.
  • смещение : Длина и направление прямой линии между двумя объектами.
  • ускорение : скорость изменения скорости тела со временем

Использование векторов

Векторы могут использоваться для представления физических величин. Чаще всего в физике векторы используются для представления смещения, скорости и ускорения.Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и изображаются в виде стрелок. Длина представляет собой величину, а направление этой величины — это направление, в котором указывает вектор. Поскольку векторы построены таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторы.

Приложения

В физике векторы полезны, потому что они могут визуально представлять положение, смещение, скорость и ускорение. При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в том масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то указать, в каком масштабе они рисуются.Например, при рисовании вектора, представляющего величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе [латекс]\displaystyle \frac{1}{20}[/latex]. Когда обратная шкала умножается на нарисованную величину, она должна равняться фактической величине.

Положение и перемещение

Смещение определяется как расстояние в любом направлении от объекта относительно положения другого объекта. Физики используют концепцию вектора положения в качестве графического инструмента для визуализации перемещений.Вектор положения выражает положение объекта от начала системы координат. Вектор положения также можно использовать для отображения положения объекта по отношению к опорной точке, вторичному объекту или исходному положению (при анализе того, насколько далеко объект переместился от своего исходного положения). Вектор положения представляет собой прямую линию, проведенную из произвольного начала координат к объекту. После рисования вектор имеет длину и направление относительно используемой системы координат.

Скорость

Скорость также определяется величиной и направлением.Чтобы сказать, что что-то набирает или теряет скорость, нужно также сказать, насколько и в каком направлении. Например, самолет, летящий на высоте 200 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс] на северо-восток, может быть представлен вектором, указывающим в северо-восточном направлении с магнитудой 200 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс]. При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов с одинаковыми единицами измерения. Итак, если бы другой самолет летел на 100 [латекс]\frac{\text{км}}{\текст{ч}}[/латекс] на юго-запад, стрелка вектора должна быть вдвое короче и указывать в направлении юго-запад.

Ускорение

Ускорение, являющееся скоростью изменения скорости во времени, состоит из величины и направления и рисуется с той же концепцией, что и вектор скорости. Значение ускорения не было бы полезным в физике, если бы величина и направление этого ускорения были неизвестны, поэтому эти векторы важны. Например, на диаграмме свободного тела падающего объекта было бы полезно использовать вектор ускорения рядом с объектом для обозначения его ускорения по направлению к земле.2}[/латекс] .

Векторная диаграмма : Вот человек, поднимающийся на холм. Направление его движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длиной стрелки, идущей в гору. Он также ускоряется вниз под действием силы тяжести.

Векторов

Это вектор:

Вектор имеет величин (размер) и направлений :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

Мы можем добавить два вектора, соединив их лоб в лоб:

И неважно в каком порядке мы их складываем, получаем один и тот же результат:

Пример: Самолет летит на север, но ветер дует с северо-запада.

Два вектора (скорость, создаваемая пропеллером, и скорость ветра) приводят к несколько меньшей скорости относительно земли в направлении немного к востоку от севера.

Если смотреть на самолет с земли, то может показаться, что он немного скользит вбок.

Вы когда-нибудь видели такое? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают объяснить это.

Скорость, ускорение, сила и многое другое являются векторами.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

  • сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
  • , затем добавьте их как обычно:


а б

Обозначение

Вектор часто записывается жирным шрифтом , например a или b .

Вектор также можно записать в виде букв
его головы и хвоста со стрелкой над ними, например:
 

Расчеты

Теперь… как мы будем производить расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить вектор на части x и y, например:

Вектор a разбит на
два вектора a x ​​ и a y

(Позже мы увидим, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем сложить векторы по , добавив части x и , добавив части y :

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) в сумме дают вектор (34, 20)

Пример: сложите векторы

a = (8, 13) и b = (26, 7)

в = а + б

в = (8, 13) + (26, 7) = (8+26, 13+7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

Вычитание векторов

Чтобы вычесть, сначала инвертируйте вектор, который мы хотим вычесть, затем сложите.

Пример: вычесть

k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + — к

a = (12, 2) + −(4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| и |

ИЛИ можно написать двойными вертикальными черточками (чтобы не путать с абсолютным значением):

|| и ||

Для расчета используем теорему Пифагора:

| и | = √( х 2 + у 2 )

Пример: какова величина вектора

b = (6, 8) ?

| б | = √( 6 2 + 8 2 ) = √( 36+64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против скаляра

Скаляр имеет величину (размер) только .

Скаляр: просто число (например, 7 или −0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление , и часто записывается жирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

  • , поэтому c — это вектор, он имеет величину и направление
  • , но c — это просто значение, например 3 или 12.4

Пример: k

b на самом деле скаляр k умноженный на вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем размер вектора.

Пример: умножить вектор

м = (7, 3) на скаляр 3
  a = 3 м = (3×7, 3×3) = (21, 9)

Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

 

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и векторное произведение)

Как нам умножить два вектора вместе? Существует более чем один способ!

(Дополнительную информацию см. на этих страницах.)

 

Более двух измерений

Векторы также отлично работают в 3-х и более измерениях:


Вектор (1, 4, 5)

Пример: сложите векторы

a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

в = а + б

в = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора

w = (1, −2, 3) ?

| с | = √( 1 2 + (−2) 2 + 3 2 ) = √( 1+4+9) = √14

Вот пример с 4-мя измерениями (но рисовать сложно!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + -(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (-1,-2,-3,-4)
= (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)

 

Величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины x и y (или наоборот):

<=>
Вектор a в полярных координатах
  Вектор a в декартовых координатах
Координаты

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткий обзор:

Из полярных координат (r, θ )
в декартовы координаты (x,y)
  От декартовых координат (x,y)
до полярных координат (r,θ)
  • x = r × cos( θ )
  • y = r × sin( θ )
 
  • г = √ ( х 2 + у 2 )
  • θ = тангенс -1 (г/х)

 

 

Пример

Сэм и Алекс тянут коробку.

  • Сэм тянет с силой 200 ньютонов под углом 60°
  • Алекс тянет с усилием 120 ньютонов под углом 45°, как показано

Что такое объединенная сила и ее направление?

 

Сложим два вектора «голова к хвосту»:

Первое преобразование из полярной системы в декартову (до 2 десятичных знаков):

Вектор Сэма:

  • x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0,5 = 100
  • y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173,21

Вектор Алекса:

  • x = r × cos( θ ) = 120 × cos(−45°) = 120 × 0,7071 = 84,85
  • y = r × sin( θ ) = 120 × sin(−45°) = 120 × -0,7071 = −84,85

Теперь у нас есть:

Добавьте их:

(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

Этот ответ верный, но давайте обратимся к полярному, поскольку вопрос был полярным:

  • г = √ ( х 2 + у 2 ) = √ ( 184.85 2 + 88,36 2 ) = 204,88
  • θ = тангенс -1 ( y / x ) = тангенс -1 ( 88,36 / 184,85 ) = 25,5°

И у нас есть этот (округленный) результат:

А для Сэма и Алекса это выглядит так:

Если бы они стояли плечом к плечу, результат был бы лучше!

 

векторов, часть 5

векторов, часть 5

Векторы в двух и трех измерениях

Часть 5: Векторы в космосе

Мы думаем о трехмерном пространстве, начиная с горизонтальной плоскости xy . и расширение вверх и вниз с использованием третьей координаты, z .В этом В трехмерном пространстве мы можем создавать векторы так же, как мы это делали на плоскости.

Векторы в пространстве могут быть описаны по упорядоченные тройки координат ( a, b, c ) . Геометрически, определенный таким образом вектор можно рассматривать как стрелку, указывающую из начала координат к этой точке пространства.

Как и с векторами на плоскости, мы определить сложение и вычитание покоординатно:

( а,б,в ) + ( г,д,е ) = ( а+г,б+е,в+е )

( а,б,с ) ( г,д,е ) = ( а-г, б-е, в-ф )

  1. Вычисление суммы и разности из (1,2,-3) и (-7,1,0).Нарисуйте эти векторы, их сумму и разность, как на бумаге, так и на рабочем листе.

Векторы в пространстве также имеют направление и длина. Их можно вычислить так же, как и для двумерных векторов, взяв дополнительная координата учитывается в наших формулах. Таким образом, величина или длина вектора v = (a,b,c) равна

и скалярное произведение двух векторов v = ( a,b,c ) и w = ( d,e,f ) равно

< v , w > = объявлений + быть + ср.

Как и раньше, скалярное произведение говорит нам об относительном направлении двух векторов.

  1. Выразите косинус угла между векторами v и w с точки зрения их скалярного произведения и их длин. (Намекать: Просмотрите свои 2D-расчеты в Части 2 и определите, что изменится при каждом изменении. вектор имеет третью компоненту.)
  2. Вычисление скалярного произведения (1,2,-3) и (-7,1,0) и вычислить угол между ними.
  3. Постройте вектора (-2,3,1) и (1,5,3) на листе и вычислите угол между их.

В самолете мы увидели, что можем выразить вектор как сумму кратных горизонтального единичного вектора, i , и кратное вертикальному единичному вектору, j . Мы можем сделать то же самое в пространство, но теперь нам нужны три единичных вектора — те же самые два вектора i  = (1,0,0) и j  = (0,1,0), лежащие в плоскости xy , и новый вектор k  = (0,0,1) перпендикулярно этой горизонтальной плоскости.

  1. Выразите вектор (-1,5,2) как сумма скалярных множителей i , j и k .

Умножение векторов в пространстве имеет больше возможностей, чем в самолете. Как мы увидим в части 7, существует второе понятие умножения векторов в пространстве, имеющее геометрическое значение. В частности, он выражает отношение векторов i , j , и k довольно красиво.


| КПК Главная | Материалы | Многовариантный Исчисление | Содержание модуля | Назад | Вперед |

Счет, математика и статистика — Набор академических навыков

Обозначение i,j (Механика)

Векторное обозначение

Обозначение индекса для векторного исчисления включает базисные векторы $\underline{e}_x$ и $\underline{e}_y$ для двух измерений.

Однако в последующих примерах в механике мы будем использовать нотацию $i,j$.

Обозначение $i,j$

Вектор можно описать с помощью нотации $\mathbf{i, j}$.

Единичный вектор — это вектор длины 1, в декартовых координатах единичные векторы вдоль оси обозначаются $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ соответственно.

Любой двумерный вектор можно записать в виде $a\mathbf{i} + b\mathbf{j}$.

Рабочий пример: представление векторов
Нарисовать схему

Нарисуйте диаграмму для представления вектора $5\mathbf{i} — 2\mathbf{j}$.

Решение

Проходим 5 единиц в направлении единичного вектора $\mathbf{i}$ и 2 единицы в направлении единичного вектора $-\mathbf{j}$.

Рабочий пример: задачи с векторами
Проблемы

Учитывая, что $\mathbf{x} = 8\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ и $\mathbf{y} = 12\mathbf{i} — 3\mathbf{j}$, найдите $\ mathbf{x}+\mathbf{y}$, $\mathbf{y}-\mathbf{x}$, $3\mathbf{x}+\frac{1}{2}\mathbf{y}$, величина $\mathbf{x}$ и угол между $\mathbf{y}$ и положительной осью $x$.

Решение

Мы можем добавлять векторы, рассматривая члены $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ по отдельности. \begin{align} \mathbf{x} + \mathbf{y} & = \left(8\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\right) + \left(12\mathbf{i} — 3\ mathbf{j}\right), \\ & =\left(8 \mathbf{i} + 12 \mathbf{i}\right) + \left(4 \mathbf{j} — 3\mathbf{j}\right ),\\ & = 20\mathbf{i} + \mathbf{j}. \end{align} Мы можем сделать то же самое при вычитании векторов. \begin{align} \mathbf{y} — \mathbf{x} & = \left(12\mathbf{i} — 3\mathbf{j}\right) — \left(8\mathbf{i} + 4\ mathbf{j}\right), \\ & = \left(12\mathbf{i} — 8\mathbf{i}\right) + \left(- 3\mathbf{j} — 4\mathbf{j}\ справа), \\ & = 4\mathbf{i} — 7 \mathbf{j}.\end{align} У нас также есть это \begin{align} 3\mathbf{x} + \frac{1}{2} \mathbf{y} & = 3 \left(8\mathbf{i} + 4\mathbf {j}\right) + \frac{1}{2} \left(12\mathbf{i} — 3\mathbf{j}\right), \\ & = \left(24\mathbf{i} + 12 \mathbf{j}\right) + \left(6\mathbf{i} — \frac{3}{2}\mathbf{j}\right), \\ & = \left( 24\mathbf{i} + 6\mathbf{i}\right) + \left(12\mathbf{j} — \frac{3}{2} \mathbf{j}\right), \\ & = 30 \mathbf{i} + \frac {21}{2}\mathbf{j}.

Написать ответ

Ваш адрес email не будет опубликован.