Закон власти: 48 законов власти | Грин Роберт

Получено 7 мая 2020 г .; Принято 21 августа 2020 г.

Опубликовано по лицензии AIP Publishing.

1054-1500 / 2020/30 (9) /093123/12/$30.00

Abstract

COVID-19 — это развивающееся респираторное инфекционное заболевание, вызываемое коронавирусом SARS-CoV-2. Впервые о нем сообщили в начале декабря 2019 года в Ухане, Китай, и в течение трех месяцев пандемия распространилась по всему миру.Здесь мы изучаем макроэпидемиологические закономерности во времени пандемии COVID-19. Мы вычисляем распределение подтвержденных случаев COVID-19 и смертей по странам мира и по округам в США и показываем, что оба распределения следуют усеченному степенному закону на пять порядков величины. Мы можем объяснить происхождение этого масштабного поведения как двухуровневый процесс: крупномасштабное распространение вируса между странами и мелкомасштабное накопление числа случаев в каждой стране.Предполагая экспоненциальный рост в обоих масштабах, критический показатель степенного закона определяется отношением крупномасштабных к мелкомасштабным темпам роста. Мы подтверждаем эту теорию в численном моделировании в простой модели мета-населения, описывающей распространение эпидемии в сети взаимосвязанных стран. Наша теория дает механистическое объяснение того, почему большинство случаев COVID-19 произошло в нескольких эпицентрах, по крайней мере, на начальной фазе вспышки. Комбинируя данные реального мира, моделирование и численное моделирование, мы доказываем, что распределение распространенности эпидемии может соответствовать универсальным правилам.

В этом исследовании мы обращаем внимание на одну из ярких характеристик пандемии COVID-19, а именно на огромные различия в количестве случаев, зарегистрированных в разных частях мира. В первый месяц вспышки некоторые страны, так называемые «эпицентры» пандемии, уже были серьезно поражены пандемией, тогда как многие другие в то же время только подтвердили первые несколько случаев. Подобное неоднородное распределение имело место в меньшем масштабе внутри стран и привело к парадоксальной ситуации, когда, несмотря на огромное количество инфицированных людей во всем мире, многие люди (все еще) пережили небольшое количество случаев в своем районе.Чтобы количественно оценить эту закономерность, мы анализируем эмпирические данные о количестве подтвержденных случаев COVID-19 и показываем, что распространенность эпидемии распределяется по усеченному степенному закону на многие порядки величины. Это указывает на то, что переход между несколькими эпидемическими эпицентрами и большим количеством слабо пораженных регионов не имеет масштаба, и, таким образом, сильное неравенство зарегистрированных случаев является выражением того факта, что COVID-19 географически распределен как фрактал. . Несмотря на то, что существует множество факторов, которые потенциально способствуют этой пространственной неоднородности (например,g., идиосинкразические различия в размерах, географии, мерах по смягчению последствий и режимах тестирования в разных странах), мы разрабатываем простую динамическую теорию, которая способна объяснить представленные данные и указывает на то, что появление степенного распределения является естественным результатом самого процесса распространения. Наша теория также дает повод для беспокойства: поскольку фрактальное распределение возникает только на начальной фазе пандемии, модели распространенности эпидемии могут сильно отличаться, если пандемия снова разразится второй волной после длительного периода блокировки.

I. ВВЕДЕНИЕ

COVID-19 — это развивающееся инфекционное заболевание, вызываемое коронавирусом SARS-CoV-2. Впервые о нем было сообщено в провинции Хубэй, материковый Китай, 31 декабря 2019 года, и он распространился далеко за пределы Китая за несколько недель, достигнув стран во всех частях земного шара в течение трех месяцев. По состоянию на 29 марта 2020 года заболевание распространилось в 177 странах, было зарегистрировано более 700 000 подтвержденных случаев и 30 000 смертей по всему миру. ⁴² Несмотря на решительные и широкомасштабные меры сдерживания, принятые в большинстве стран, эти цифры быстро растут с каждым днем, создавая беспрецедентную угрозу для глобального здоровья и экономики взаимосвязанных человеческих обществ.

Одним из самых мощных инструментов для понимания законов роста эпидемии является математическое моделирование, восходящее к работе Бернулли ⁵ о распространении оспы в 1760 году. Эпидемиологические модели можно условно разделить на два класса. Первый класс моделей ориентирован на описание временного развития эпидемии в локализованном регионе или стране. Эти модели часто являются вариантами хорошо известной модели «восприимчивый-инфицированный-выздоровевший» (SIR) ^22,23 и недавно были адаптированы к ситуации с COVID-19 с учетом нефармацевтических вмешательств (например,g., карантин, госпитализацию и политику сдерживания), что позволяет делать первые прогнозы потребности в медицинской помощи. ^15,25,26,40

Второй класс моделей касается географического распространения эпидемии по всему миру. Для этих целей были разработаны пространственно явные модели, использующие информацию о топологии транспортных сетей. Например, глобальная сеть движения грузовых судов ²¹ использовалась для моделирования распространения инвазивных видов. ³⁷ Аналогичным образом для инфекционных заболеваний в ходе новаторского исследования было смоделировано распространение SARS в 2003 г. в глобальной авиационной сети ⁴¹ . ¹⁹ На основе этих подходов были разработаны концептуальные основы для оценки времени прибытия эпидемии как эффективных расстояний. ^8,20 В то же время эти модели были усовершенствованы до высокодетализированных схем моделирования для прогнозирования распространения заболевания и могут включать такие факторы, как вакцинация, множественные классы восприимчивости, сезонное воздействие и стохастическое движение отдельных агентов. . ^12,43 В ответ на возникшую пандемию были разработаны пространственные эпидемиологические модели для описания и прогнозирования распространения COVID-19. ^2,10,16,33 Эти модели позволяют нам прогнозировать заболеваемость эпидемиями в определенной популяции во времени, позволяя изучить влияние ограничений на поездки и других мер контроля.

Несмотря на этот теоретический прогресс, о биогеографии COVID-19 известно немногое ни из эмпирических исследований, ни из математических моделей.Это удивительно, поскольку одной из характерных черт пандемии является огромное различие в количестве случаев, зарегистрированных в разных странах мира. По состоянию на апрель 2020 года некоторые страны — эпицентры пандемии — уже сильно пострадали от пандемии, в то время как другие в то же время только подтвердили первые несколько случаев. Это географическое различие в распространенности COVID-19 можно объяснить несколькими аргументами: первая очевидная возможность состоит в том, что это изменение вызвано идиосинкразическими обстоятельствами отдельных стран, которые в значительной степени различаются по своей географии и численности населения, но также и по способам борются с болезнью.В качестве альтернативы, часть вариации может быть просто связана с ошибками в сообщении, отражающими несопоставимые национальные режимы тестирования, в таких странах, как Китай, Япония, Южная Корея или Германия, которые имеют высокие показатели тестирования, в отличие от других стран с гораздо более плохим тестированием. Здесь, однако, мы утверждаем, что доминирующая часть этого изменения может быть прямым следствием динамики самого процесса распространения. Таким образом, распространенность эпидемии в стране должна быть напрямую коррелирована со временем прибытия болезни: страны, которые были заражены вирусом на очень раннем этапе, накопили много случаев во времени, в то время как страны с поздним вторжением, естественно, все еще имеют меньшую распространенность.

Чтобы проверить эту гипотезу, мы используем эмпирические данные ¹⁴ для расчета распределения P на уровне страны подтвержденных случаев COVID-19, n, в конце марта 2020 года во всем мире и обнаруживаем, что оно близко аппроксимируется усеченным сила закона,

P (n) ∼n − μ, 1≤n≤nmax

(1)

более пяти порядков.

Степенные распределения характеризуют широкий спектр явлений в природных, экономических и социальных системах, который известен как закон Ципфа или Парето. ^11,27,29,39 Примеры варьируются от количества видов в биологических таксонах, ⁴⁶ количества городов с заданным размером, ⁴⁷ количества различных слов в человеческом языке, ⁴⁷ частоты встречаемости землетрясения, ¹⁸ распределение богатства, ³² количество научных цитат, ^34,36 длина шага в моделях поиска животных, ⁴⁴ и популярность шахматных дебютов. ⁷ Наше исследование показывает, что распространенность эпидемии, по крайней мере, на начальной стадии пандемии, является еще одной системой, которая попадает в этот класс, что позволяет предположить, что пространственное распределение числа случаев COVID-19 является фрактальным. ⁹

Внешний вид степенного распределения часто указывает на природу лежащих в основе процессов. Это может, например, указывать на то, что система работает близко к критичности, ^3,29 , и может намекать на наличие мультипликативного стохастического процесса с определенными границами ^7,39 или процесс «обогащайся — обогащайся». . ^4,38

Здесь мы предлагаем концептуальную двухуровневую модель, которая объясняет возникновение степенного распределения «суперпозицией» двух параллельных процессов: крупномасштабного распространения вируса между странами и мелкомасштабного распространения вируса. рост числа случаев в каждой стране.Предполагая экспоненциальный рост в обоих масштабах, критический показатель просто определяется отношением крупномасштабных к мелкомасштабным темпам роста. Мы подтверждаем эту теорию в численном моделировании в простой модели мета-населения, описывающей распространение эпидемии в сети взаимосвязанных стран. Комбинируя данные из реального мира, моделирование и численное моделирование, мы доказываем, что распределение распространенности эпидемии и, возможно, распространение процессов в целом может следовать универсальным правилам.

II. РЕЗУЛЬТАТЫ

A. Степенное распределение в эмпирических данных

Наше исследование основывается на репозитории данных COVID-19, управляемом Центром системных наук и инженерии Университета Джона Хопкинса (JHU CSSE). ¹⁴ База данных содержит информацию о ежедневном количестве подтвержденных случаев COVID-19 и подтвержденных смертей в различных странах мира.

Используя эти данные, мы рассчитали распределение PC (n) подтвержденных случаев и распределение PD (n) подтвержденных смертей на заданную дату (см. Приложение A).

Распределение распространенности на уровне страны на 22 марта 2020 г. показано в и. В тот день 168 стран были заражены коронавирусом, и 86 стран уже сообщили о погибших. Число подтвержденных случаев варьировало от 81 435 случаев в Китае (за которыми следуют 59 138 случаев в Италии) до 1 случая в 16 странах. Число подтвержденных смертей варьировалось от 5476 в Италии (за которыми следуют 3274 в Китае) до одной или нуля смертей во многих странах.

Степенная шкала в распределении подтвержденных случаев COVID-19.Левый столбец: расчетная вероятность Px (n) (синие линии и кружки) для страны иметь определенное количество n из (a) подтвержденных случаев (x = C) и (b) подтвержденных смертей (x = D) 22 марта, 2020. Правый столбец: то же самое для 2160 округов США, которые были захвачены коронавирусом 31 марта 2020 года. Бункеры гистограммы равномерно распределены по логарифмической оси, и отображаются только бины с положительным числом записей. Черные сплошные линии показывают прямолинейные посадки с наклоном μ, указанным на этикетках рисунков. Вставки: Кумулятивная доля C (n) = ∑m = n + 1NP (m) стран или округов с номером случая m> n.Сплошные линии показывают кумулятивное уравнение распределения (A2) усеченного степенного распределения с критическим показателем μ и пороговым значением (a) nmax = 1 × 105, (b) nmax = 1,5 × 104, (c) nmax = 7 × 104, г — nmax = 3 × 103.

и ясно демонстрируют, что частота P стран, в которых зарегистрировано определенное количество n случаев COVID-19, следует широкому, длиннохвостому распределению, которое в очень хорошем приближении может быть описано степенным законом, охватывающим пять порядков величины для подтвержденное количество случаев и четыре порядка величины подтвержденного количества смертей.

Чтобы проиллюстрировать надежность нашей гипотезы в пространственном масштабе, в и мы изобразим тот же анализ распределения подтвержденных случаев COVID-19 в округах США на 31 марта 2020 года. В этот день 2160 округов были заражены вирусом. и 514 округов сообщили по крайней мере о смерти. Распространенность эпидемии варьировала от 43 119 подтвержденных случаев до 922 подтвержденных случаев смерти в Нью-Йорке, одного подтвержденного случая в 455 округах и одного подтвержденного случая смерти в 253 округах. Опять же, мы обнаруживаем, что распределение подтвержденных случаев следует степенному закону на несколько порядков.Таким образом, хотя эти два набора данных сильно различаются по пространственному масштабу и разрешению [168 подвергшихся вторжению стран и 2160 округов США, подвергшихся вторжению в и], мы получаем очень похожие модели распределения распространенности.

Грубую оценку критического показателя можно получить, измерив наклон линии регрессии по данным на графике с двойным логарифмическим индексом. Применяя этот метод к распределению на уровне страны [и], мы получаем значение μC = 1,18 (наклон распределения подтвержденных случаев) и μD = 1.D = 2,31 ± 0,06. Эти показатели немного отличаются от показателей, полученных в результате регрессионного анализа, но все равно находятся на том же уровне.

Учитывая неограниченное степенное распределение P (n), кумулятивная функция распределения C (n) = ∫n∞P (n ′) dn ′ также должна подчиняться степенному закону C (n) ∼n1 − μ. Как показано на вставках в, это не относится к распределению случаев COVID-19, для которых кумулятивная доля C (n) = ∑m = n + 1NP (m) стран или округов с номером случая m > n действительно не следует прямой линии в двойном логарифмическом графике.Вместо этого они лучше описываются кумулятивной функцией распределения Ур. (A2) усеченного степенного закона, то есть степенного распределения с верхней границей nmax для числа случаев, уравнение. (1) (см. Приложение А и). Это указание на наличие усеченного степенного распределения также согласуется с нашим теоретическим анализом, приведенным ниже.

Робастность алгоритма оценки параметров усеченного степенного закона. То же, что и для 200 случайных чисел ni, которые были сгенерированы из усеченного степенного распределения с μ = 1.nmax = 8.4 × 104, максимальное значение ni образца.

Однако отметим, что, хотя форма полученного эмпирическим путем C (n) в целом следует кривой усеченного степенного распределения, теоретическая кривая имеет значительные колебания (сравните синие кружки и черные линии на вставках). Таким образом, тщательная проверка гипотез с помощью моделирования Монте-Карло, ^11,13 , которая не принимает во внимание возмущения, вызванные дополнительными нарушениями (например, неоднородностью размеров страны или мерами сдерживания), всегда отвергает гипотезу об идеальной усеченной мощности. -закон как истинное основное распределение.

Наличие степенного распределения означает, что глобальные модели распространенности COVID-19 характеризуются небольшим количеством стран с огромной распространенностью эпидемии (длинный хвост распределения) и большим количеством стран, которые (пока) едва ли пострадавшие от болезни. Между этими двумя крайностями существует плавный переход, и этот переход является безмасштабным, то есть увеличение числа стран (или округов) с уменьшением числа случаев одинаково во всех масштабах.В целом полученные критические показатели достаточно малы. Хотя для большинства естественных степенных распределений критические показатели составляют около μ ≈ 2, здесь мы оцениваем показатели, которые явно меньше двух, μ <2, что указывает на очень широкое распределение, для которого при отсутствии верхней границы среднее значение расходится.

B. Временное развитие во время распространения пандемии

Хотя в настоящем анализе рассматривается распределение числа случаев во временном снимке, на самом деле пандемия представляет собой динамический процесс, последовательно захватывающий страны по всему миру.В разделе мы исследуем временное развитие распространения COVID-19. На рисунке показано, что распределение подтвержденных случаев на уровне страны формируется уже в течение нескольких недель с начала вспышки и остается примерно неизменным в течение рассматриваемого интервала времени в 75 дней. Более внимательное рассмотрение (см. Вставку в показывает, что критические показатели на самом деле не постоянны, но в целом являются убывающими функциями времени, указывая на то, что распределение случаев имеет тенденцию к расширению в ходе пандемии.

Временное развитие пандемии COVID-19. (а) Эволюция распределения подтвержденных случаев по странам. То же, что, но для шести разных временных периодов, разделенных 2 неделями (см. Пояснение к рисунку) во время пандемии. На вставке показано кумулятивное количество стран N⋅C (n), где N — общее количество стран с подтвержденными случаями на эту дату. (b) Распределение времени прибытия. Гистограмма показывает количество стран, которые были заражены вирусом в определенный день с 22 января 2020 года по 5 апреля 2020 года (синие столбцы).D (t) (синий, показан только с 16 февраля, первых дней с не менее чем пятью подтвержденными случаями смерти), оцененный путем максимизации уравнения функции логарифма правдоподобия (A4) как функция времени. Вертикальная красная линия указывает 22 марта, дату раздачи, показанную в и.

более систематически исследует пространственное распространение COVID-19 по странам мира. На рисунке показано количество стран, которые были заражены коронавирусом (т. Е. Имели первый подтвержденный случай COVID-19) в определенный день в промежутке времени с 22 января по 5 апреля 2020 года.22 января, первая запись в базе данных, шесть стран (Китай, Япония, Южная Корея, Тайвань, Таиланд, США) уже были заражены вирусом. С этого дня, примерно за два месяца, пандемия распространилась почти на все страны мира.

Интересно, что скорость вторжения не была постоянной. Вместо этого четко указывает на два широких режима в распределении времени прибытия. В конце января болезнь поразила первую группу стран. За первые три недели февраля практически не поступало новых поступлений.С 24 февраля появилась вторая волна вторжений, продлившаяся до конца марта, после чего количество вновь прибывших снова начало падать, вероятно, отражая тот факт, что пандемия охватила практически все страны мира. По состоянию на 5 апреля коронавирус поразил всего 185 стран.

Есть несколько возможных причин, по которым поступление болезни не распределяется более равномерно. Одно из объяснений бимодальной формы связано с закрытием авиалиний в Китае в конце января 2020 года.Согласно этой гипотезе, после первого пандемического пузыря в январе дальнейшее распространение пандемии временно приостановилось с началом ограничений на поездки, чтобы вновь проявиться во второй волне, начиная с конца февраля. С другой стороны, может случиться так, что многие прибытия вируса в страны по всему миру просто остались незамеченными в течение первых недель февраля и были обнаружены только позже, по мере роста осведомленности и расширения тестирования. Эта гипотеза подтверждается наблюдением, что конец февраля — это также время, когда стали доступны первые тесты на основе ПЦР.В целом, сильная неравномерность распределения времени прибытия указывает на высокий уровень стохастичности процесса распространения во всем мире.

C. Механистическое объяснение степенного распределения

предполагает, что временное развитие пандемии характеризуется двумя взаимодополняющими процессами: последовательным вторжением во все больше и больше стран и увеличением числа случаев в каждой пораженной стране. Здесь мы утверждаем, что появление степенного распределения может быть связано с одновременной «суперпозицией» этих двух процессов.Таким образом, в большом географическом масштабе пандемия вызвана распространением вируса в сети взаимосвязанных стран. В небольших масштабах число случаев заболевания в каждой стране после вторжения растет как снежный ком, что еще больше увеличивает дисбаланс эпидемии из-за разного времени прибытия в разные страны.

В самом простом приближении в начале пандемии оба этих процесса развивались экспоненциально во времени. Непосредственный расчет показывает, что комбинация двух экспоненциальных процессов в общем дает усеченное степенное распределение числа случаев в странах: рассмотрим вспышку эпидемии, которая началась (первый случай, зарегистрированный в стране) в момент времени t = 0.Нас интересует распределение случаев в момент времени t> 0. Давайте сначала предположим, что в этот день распределение вероятности того, что страна была заражена вирусом в какой-то предыдущий момент времени, растет экспоненциально по τ со скоростью распространения s:

P (τ) ∼esτ, 0≤τ≤t.

(2)

Этого экспоненциального роста в географическом распределении пандемии можно было бы ожидать, если бы смоделировали распространение в сети, узлами которой являются страны (без учета насыщения, когда пандемия достигла большинства стран).Обратите внимание, что распределение усечено с двух сторон, поскольку появление болезни могло произойти только после начала пандемии, τ≥0, и в прошлом, τ≤t.

Во-вторых, мы предполагаем, что в каждой стране количество подтвержденных случаев увеличивалось экспоненциально с течением времени с момента вторжения t − τ со скоростью роста r (без учета мер сдерживания и насыщения после пика эпидемии),

Комбинируя эти два уравнения, можно рассчитать распределение вероятностей подтвержденных случаев P (n) как ²⁹

P (n) = P (τ) dτdn∼esτe − rτ∼n− (1 + s / r), с 2 ≤n≤nmax,

(4)

который является усеченным степенным законом с критическим показателем,

Таким образом, критический показатель просто определяется отношением крупномасштабных к мелкомасштабным темпам роста.В симметричном случае, когда обе скорости роста идентичны, s = r, мы ожидаем степенного закона с μ = 2. В предельном случае, когда процесс крупномасштабного распространения является линейным по времени, s = 0, мы получаем граничное распределение с критическим показателем μ = 1. Обратите внимание, что из усечения τ в распределении времени прибытия, уравнение. (2) допустимый диапазон номеров случаев в степенном распределении Ур. (4) обязательно ограничено между нижней границей n = 1 (распространенность эпидемии в стране, недавно подвергшейся вторжению) и пороговым значением nmax∼ert (распространенность эпидемии в момент времени t в стране с первым подтвержденным случаем) — оправдание наблюдение усеченного степенного закона в эмпирических данных, как показано на.

Очевидно, эта простая теория далеко не точно описывает настоящую пандемию. Прежде всего, теория верна только на начальной фазе пандемии, в то время как как географическое распространение, так и рост эпидемии внутри страны все еще имеют экспоненциальный характер. Как только начнутся процессы насыщения, вывод степенного закона нарушается. Далее, как показано на рисунке, распределение времени прибытия во время пандемии COVID-19 не является экспоненциальным, как обсуждалось выше. В результате грубого упрощения мы, тем не менее, можем подогнать экспоненциальную функцию P (t) ∼est через данные, что дает «среднюю» скорость распространения s = 0.03d − 1 [черная пунктирная линия]. Наконец, темпы роста эпидемии во время пандемии COVID-19 не были одинаковыми во всех странах (даже на начальных этапах). Они также не остались постоянными во времени, но в большинстве стран снизились в ходе эпидемии. Более того, в большинство стран вторгались многократные вторжения, что приводило к различным очагам эпидемии внутри стран. Пренебрегая всеми этими наблюдениями, для аргументации предположим, что среднее время удвоения числа случаев T1 / 2 = 3.5d во всех странах, что дает экспоненциальный темп роста r = log⁡ (2) /T1/2=0.2d −1 и максимальное количество случаев nmax = e0.2 ∗ 60 = 1,6 × 105 через 60 дней. Тогда, согласно нашему простому теоретическому уравнению (5), мы ожидаем критический показатель μ = 1 + 0,03 / 0,2≈1,15, что довольно хорошо согласуется с подобранными показателями в.

D. Результаты модели метапопуляции

Чтобы проверить теорию разд. II C, мы разработали двухуровневую модель мета-населения (см. Приложение B). Первый уровень описывает масштабное стохастическое распространение вируса в сети из N взаимосвязанных стран.Второй уровень описывает небольшое увеличение числа случаев в стране; он запускается в каждой стране с момента вторжения вируса и следует простой детерминированной SIR-динамике. Мотивация для разработки этой модели заключалась не в прогнозировании распространения COVID-19 по всему миру, а в количественной проверке появления неоднородных распределений случаев в рамках концептуальной модели, которая включает идеи из разд. II C.

показывает типичный результат модели.Процесс крупномасштабного распространения отражен в распределении времени прибытия, которое демонстрирует одномодальную зависимость от времени []. Соответственно, количество захваченных стран растет стохастически и имеет примерно сигмоидальную форму. В соответствии с нашей теорией уравнение. (2), это распределение времени прибытия начинает экспоненциально расти в фазе нарастания пандемии. Самый высокий уровень инвазии наблюдается примерно через 50 дней, тогда как после 80-дневного моделирования 196 из N = 200 стран уже заражены вирусом.

Масштабирование по степенному закону в модели метапопуляции. (a) и (b) То же, но для моделирования модели после переходного процесса продолжительностью 62 дня. Показана расчетная вероятность P (n) (синие линии и кружки) с подгонками по прямой (черные линии) для смоделированных случаев (a) и смертей (b). На вставках показана кумулятивная доля C (n) стран (синие кружки) и кумулятивная функция распределения (черные линии) усеченного степенного распределения с пороговыми значениями (a) nmax = 5 × 106 и (b) nmax = 5 × 104.(c) и (d) То же, что и, показывая пространственный разброс в модели мета-населения. (c) Эволюция распределения случаев, как в (a), но для пяти различных временных периодов, разделенных 15 днями (см. пояснение к рисунку). (d) Гистограмма времени прибытия, показывающая количество стран, в которые было совершено вторжение в определенный день. Время моделирования: 80 дней. Черная пунктирная линия показывает экспоненциально возрастающую функцию exp⁡ (st) со скоростью расширения s = 0,037d − 1, полученную методом наименьших квадратов для данных в течение первых 62 дней.D (t) (синий) для распределения числа случаев и смертей, оцененного путем максимизации уравнения функции логарифма правдоподобия (A4) для всех дней, когда было зарегистрировано не менее пяти случаев. Красная вертикальная линия указывает на 62-й день, время распределения в (а) и (б). См. Приложение B для описания модели и значений параметров.

Объединение компонентов крупномасштабной и мелкомасштабной модели позволяет нам моделировать распространенность эпидемии в каждой стране как функцию времени. и показать результирующее распределение случаев и смертей после 62 дней моделирования [вертикальная красная линия].D = 1,40 ± 0,06. Эти показатели можно сравнить с уравнением нашей теории (5). Исходя из, мы оцениваем пространственную скорость распространения s = 0,037d − 1 в фазе нарастания пандемии. Начальная скорость роста инфицированных в SIR-модели равна r = 0,23d − 1 (см. Приложение B). Таким образом, согласно формуле. Согласно формуле (5), мы ожидаем, что критический показатель будет равен μ = 1 + 0,037 / 0,23 = 0,16, что хорошо согласуется с оценочным значением, полученным в результате численного моделирования.

Мы хотим отметить, что почти идеальное степенное масштабирование в распределении случаев сохраняется только в начальной фазе пандемии и теряется, когда пространственное распространение начинает насыщаться.Это можно увидеть в моделированном распределении случаев P (n) для различных временных периодов []. В то время как P (n) остается примерно неизменным в течение первых 50–60 дней моделирования, первое плато начинает появляться на левом конце распределения для большего времени. Это плато отражает тот факт, что при сокращении числа новых вторгшихся стран эти страны с небольшим количеством случаев отсутствуют в левом конце распределения случаев [что напоминает поведение, показанное в эмпирическом распределении случаев].Кроме того, расчетные критические показатели уменьшаются во времени [вставка], аналогично эмпирическим данным [вставка]. Таким образом, первым признаком того, что вспышка достигла большинства стран сети, является сокращение диапазона масштабов и одновременное расширение распределения случаев. В конце концов, в пределе большого времени, когда эпидемия подошла к концу в каждой стране, масштабирование теряется, и распределение случаев должно сходиться к дельта-функции P (n) = δ (n − fNpop), где f доля восприимчивых из популяции индивидов Npop в стране, которая будет инфицирована (или она приблизится к распределению по размеру страны в мета-популяции с неоднородно распределенными размерами стран).Интересно отметить, что в нашем численном моделировании мы по-прежнему получали степенное распределение, когда скорость контакта β была установлена ​​на большое значение, так что динамика внутри страны быстро достигает стационарного состояния. В этом случае при увеличении β (и, следовательно, увеличении начальных темпов роста эпидемии r) критические показатели стремятся к μ → 1.

III. Обсуждение. доказать существование степенного распределения.По этой причине цель данного исследования не состоит в том, чтобы доказать, что распределение случаев COVID-19 является идеальным степенным законом, а это мероприятие потребует сложного статистического анализа и гораздо большего размера выборки.

Тем не менее, масштабные соотношения в распределениях, показанных в, удивительно постоянны во всем диапазоне номеров случаев, простираясь на несколько порядков величины без явных признаков насыщения для диапазона малых или больших номеров случаев. Можно утверждать, что изгиб кумулятивной функции распределения является признаком того, что рост в некоторых странах (например, Китае, Корее) уже стал субэкспоненциальным. Однако этому противоречит наблюдение, что подобный изгиб также демонстрирует кумулятивная функция распределения, полученная из модели метапопуляции ().Таким образом, наиболее вероятным объяснением является то, что распределение случаев заболевания следует усеченному степенному закону (см. Также), предполагая гипотезу о том, что пространственное распределение случаев COVID-19 является фрактальным. ⁹ Это дополнительно подтверждается нашей простой теорией, которая дает механистическое объяснение того, почему мы вообще ожидаем усеченного степенного закона.

Наше открытие степенного распределения числа зарегистрированных случаев имеет важные последствия для эпидемиологии. В частности, небольшие значения оцененных критических степенных показателей связаны с сильным неравенством количества случаев, которое часто наблюдалось во всем мире на начальной стадии вспышки COVID-19.Распределение по степенному закону означает, что эта закономерность превалирует даже при росте числа и распространении инфекции во всем мире. В частности, в ходе пандемии, согласно сообщениям, большинство случаев заболевания произошло в нескольких странах, иногда даже в одной стране — так называемых эпицентрах пандемии. Распределение случаев внутри стран происходило аналогичным образом. Часто COVID-19 достигал пика в нескольких локальных очагах (местные регионы или города), в то время как в других частях страны в то же время было зарегистрировано лишь небольшое количество случаев.Наша теория дает механистическое объяснение того, почему это могло быть так.

Графическое представление неравенства распределения дается кривой Лоренца, ²⁹ , которая в случае распределения случаев COVID-19 представляет собой график доли от общего числа подтвержденных случаев в зависимости от доли из наиболее пострадавших стран. Это показано для количества подтвержденных случаев COVID-19 и подтвержденных смертей на 22 марта 2020 года. Кривая Лоренца показывает, что в этот день 95.7% подтвержденных случаев и 97,6% подтвержденных случаев смерти были зарегистрированы в 20% наиболее пострадавших стран (в то время как в 5% наиболее пострадавших стран было накоплено 82,3% всех подтвержденных случаев и 84,4% всех подтвержденных случаев смерти). В тот день, когда было подтверждено 81 435 из 336 953 подтвержденных случаев, только в Китае накопилась доля 24% всех случаев. В двух наиболее пострадавших странах, Китае и Италии, вместе накопилась доля 41% всех зарегистрированных случаев заболевания во всем мире.

Кривые Лоренца, отображающие неравенство в распределении подтвержденных случаев COVID-19.На графиках показана доля числа подтвержденных случаев (a) и числа подтвержденных случаев смерти (b) в зависимости от доли наиболее пострадавших стран на 22 марта 2020 г. (по сравнению с). Это неравенство соответствует коэффициенту Джини G = 0,92 для распределения подтвержденных случаев и G = 0,94 для числа подтвержденных смертей.

Это неравенство также можно измерить с помощью коэффициента Джини G, ¹⁷ , который находится в диапазоне от G = 0 для полного равенства, т. Е. Все страны имеют одинаковое количество случаев, и G = 1, что соответствует максимальному неравенству, где все дела появляются в одной стране.Для распределения подтвержденных случаев COVID-19 на 22 марта [и] мы получаем коэффициент Джини G = 0,92, а для числа подтвержденных случаев смерти G = 0,94. Эти большие значения являются прямым следствием малых критических показателей оцененных степенных распределений. Фактически, для неограниченного степенного распределения с μ <2 теоретически можно было бы ожидать, что коэффициент Джини будет равен G = 1. ²⁹

Возникновение степенных распределений с малым критическим показателем и связанное с этим неравенство распределения с коэффициентами Джини, близкими к единице, также наблюдается в разработанной модели метапопуляции.Следовательно, и в модельных случаях количество случаев в основном сосредоточено в нескольких странах. При моделировании этими эпицентрами пандемии, то есть странами с наибольшим количеством случаев заболевания, всегда являются страны, из которых возникли заболевания или которые впервые были заражены вирусом. Другими словами, порядок ранжирования стран по распространенности остается неизменным в ходе пандемии. Это похоже на процесс «богатый становится богатым» или «преимущество первопроходца», ^30,38 , хорошо изученный процесс генерации степенных распределений.В условиях настоящей пандемии COVID-19 этого не произошло. В начале пандемии большинство случаев заболевания наблюдалось в Китае, позже «ведущая роль» сменилась на Италию и, наконец, на США. Это отражает разные стратегии смягчения и обстоятельства в разных странах, что не учитывается в простой модели. Тем не менее, несмотря на эти изменения в порядке ранжирования, распределение случаев в эмпирических данных всегда было точно представлено степенным законом.

Отметим, что в доступной базе данных представлена ​​информация только о зарегистрированных случаях COVID-19 в каждой стране.По всей видимости, реальное количество заболевших будет намного больше. О показателях отчетности известно немного, но первые оценки показывают, что значительная часть (возможно, 86%) инфекций может остаться незамеченной. ²⁴ Уровень отчетности, вероятно, сильно различается в зависимости от страны и может меняться со временем в зависимости от осведомленности национальных учреждений здравоохранения и имеющихся возможностей тестирования. Дальнейшие неопределенности возникают из-за того, что критерии, по которым человек классифицируется как активный случай (и тем более классифицируется как выздоровевший), различаются в зависимости от страны и нередко меняются в ходе пандемии внутри страны.

Примечательно, что мы получили степенные распределения в абсолютном числе случаев в каждой стране. На первый взгляд, такого масштабирования можно было ожидать только после нормализации числа случаев по размеру популяции. Наши предварительные исследования показывают, что такие нормализованные числа случаев становятся еще более неравномерно распределенными, с еще меньшими оценочными значениями критического показателя, и распределенные значения уже не так хорошо выстраиваются на прямой линии на графике с двойным логарифмом.Таким образом, «сворачивание» распределения размеров населения по распределению случаев COVID-19 не сглаживает, а, скорее, имеет тенденцию к дальнейшему увеличению неравенства полученного распределения. Это указывает на то, что абсолютное (ненормализованное) количество случаев заболевания может быть естественной переменной для описания характера пандемии на ее начальной стадии. По всей вероятности, с дальнейшим распространением пандемии роль размеров страны и численности населения будет становиться все более важной.

Мы показали, что простая концептуальная модель дает точное описание распределения распространенности COVID-19 на начальной фазе пандемии.Это примечательно, потому что многие важные эпидемиологические аспекты процесса распространения не охвачены моделью. В частности, модель не учитывает ни различия в размерах стран, численности населения, частоте тестирования, неоднородность соединений внутри и между странами, ни соответствующие изменения, связанные с социальным дистанцированием, мерами блокировки, закрытием авиасообщения и закрытием. -удаление бордюров.

Эти упрощения оставляют много места для будущих исследований и улучшений модели.Очевидные улучшения модели заключались бы в рассмотрении метапопуляции с неоднородно распределенными размерами стран или в том, чтобы исходное число инфицированных лиц было случайным числом, что могло бы лучше описать то, что произошло во многих странах.

Одним из основных предположений разработанной модели является разделение пандемии на два пространственных масштаба, большое пространственное распространение на довольно небольшое количество (N <200) взаимосвязанных стран и мелкомасштабный рост в пределах гораздо большего количества населения. размер (N = 5 × 107).Это разделение, очевидно, несколько произвольно. Для вируса страны, конечно, являются квази-произвольными образованиями. Поэтому было бы важно проверить, устойчивы ли как анализ данных (), так и математическая модель к произвольному разделению или объединению стран. Очень похожее масштабирование, наблюдаемое среди округов США [и (d)], подтверждает универсальность модели. Точно так же можно легко убедиться, что результат модели не является артефактом искусственного сосредоточения. Предположим, вирус распространяется во всеобщей или случайно связанной сети, состоящей из нескольких индивидов N⋅Npop.Если бы мы искусственно разделили людей на небольшое количество N классов (или стран), в момент, когда болезнь распространилась на все страны, внутри каждой страны, у нас все еще было бы только несколько случаев (порядка N≪ Нпоп). Таким образом, предполагаемое одновременное распространение в обоих пространственных масштабах требует реального физического разделения в сетевой структуре. Для будущих исследований было бы интересно изучить распространение в многомасштабных иерархиях или в более реалистичных моделях взаимосвязанных обществ.

Одним из важных приложений модели будет моделирование временных мер изоляции или сдерживания COVID-19, которые были введены во многих странах мира в марте и апреле 2020 года. Такие меры могут сдерживать рост числа случаев заболевания в местных регионах (небольшие — масштабная часть нашей теории), но они не обязательно подавят также широкомасштабное распространение инфекций по регионам. Таким образом, под видом подавленного числа случаев в период смягчения последствий может происходить опасная «невидимая» гомогенизация в пространственном распределении вируса.Это имело бы огромные последствия в сценарии, когда меры внезапно отменяются во многих местах. В этом случае наша теория предсказывала бы появление совершенно другого распределения числа случаев, чем показано на. Вместо восстановления прежнего степенного распределения наиболее вероятной ситуацией было бы синхронное начало увеличения числа наблюдений повсюду. Таким образом, ситуации, возникшие только в эпицентрах на начальном этапе пандемии, могут быть правилом в большинстве районов, где меры по смягчению последствий отменяются.В этом смысле длинный хвост распределения случаев, характеризующийся множеством регионов с лишь умеренной распространенностью эпидемии, который наблюдался на начальной стадии пандемии, может создать ложное ощущение безопасности.

Наконец, мы хотели бы отметить, что сильная простота модели является одновременно и сильной стороной: будучи довольно общей, она должна быть применима к очень разным системам, чтобы описывать распространение товаров как процесс с двумя пространственными масштабами. Тот факт, что распространение COVID-19 напоминает модель, в которой «учитывается» только первоначальная инфекция, отражает внутреннюю сложность сдерживания эпидемий в глобальном и локальном масштабах при односторонних мерах (например,g., запреты на поездки и блокировки) являются непрактичными или не имеющими исковой силы, то есть в тех случаях, когда другие страны или регионы активизируются и продолжат распространение. Таким образом, оценка того, как простая двухуровневая модель предсказывает раннее распространение эпидемий, несмотря на огромные различия между странами, могла бы помочь определить критические временные и пространственные масштабы ответных мер, в которых можно было бы смягчить будущие эпидемические угрозы.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит Кристофа Фендерса, Тило Гросса, Аластера Джеймисон-Лейна, Кору Кольмайер, Джеймса Макларена и Алексея Рябова за полезные комментарии к статье.

ПРИЛОЖЕНИЕ A: ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УСКОРЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЛАСТИ

Предположим усеченное степенное (или Парето) распределение случайной величины n

P (n) = Cn − μ, 1≤n≤nmax,

(A1)

с верхней границей nmax. Нормализация ∫P (n) dn = 1 дает C = (1 − μ) / (nmax (1 − μ) −1). Кумулятивная функция распределения имеет вид

C (n) = ∫nnmaxP (n ′) dn ′ = n (1 − μ) −nmax (1 − μ) 1 − nmax (1 − μ).

(A2)

В пределе nmax → ∞ (степенное распределение без верхней границы) кумулятивная функция распределения также следует степенному закону C (n) ∼n1 − μ.

Синтетический образец распределения (A1) может быть получен по формуле

ni = 1 − ui (1 − nmax (1 − μ)) 11 − μ,

(A3)

где ui — случайные числа, взятые из равномерного распределения в диапазоне [0,1].

Обратная задача состоит в том, чтобы оценить параметры распределения по случайной выборке n (1, n2,…, nN) из N точек данных. Логарифмическое правдоподобие для уравнения распределения. (A1) можно определить как ^1,13,45

L (μ) = ∑i = 1Nln⁡P (ni) = Nln1 − μnmax (1 − μ) −1 − μ∑i = 1Nln⁡ni.= 1 + N∑iln⁡ni − 1.

(A6)

Для оценки распределения P (n) числа случаев, которые меняются на многие порядки величины, мы использовали гистограмму с логарифмическим биннингом. То есть мы поместили дискретное количество ячеек k на позиции целых степеней двойки nk = 2k (т. Е. 1, 2, 4, 8, 16 и т. Д.) И для каждой ячейки подсчитали количество Hk стран или округа США), которые в день расследования сообщили о количестве n случаев, попавших в эту корзину (nk≤n

Чтобы подтвердить надежность оценки гистограммы, мы также использовали альтернативный алгоритм, в котором мы сначала вычислили гистограмму логарифмически преобразованных номеров случаев ν = log⁡ (n) с использованием равных интервалов, которые после нормализации дали распределение P ~ (ν). Затем мы использовали обратное преобразование P (n) = P ~ (ν) / n, чтобы получить распределение вероятностей P (n) нелогарифмических номеров наблюдений.Эта процедура также дает распределение с интервалами, которые равномерно распределены по логарифмической шкале, и полученные распределения, показанные в Приложении C, очень похожи на распределение из метода логарифмического разбиения, описанного выше. Мы проверили, что результирующее распределение в значительной степени не зависит от выбора и количества используемых интервалов гистограммы и других числовых параметров.

РИС. 6.

Моделирование SIR-модели (B1) внутри страны. График показывает численно полученные значения общего количества случаев C (черный), количества восприимчивых S (зеленый) и количества выздоровевших R (синий) на левой оси, а также количество инфицированных I ( красный) и смерти D (пурпурный) и правая ось как функция времени.Для использованных начальных значений S (0) = 5 × 107, I (0) = 1 и R (0) = D (0) = 0, пик эпидемии достигается через 77 дней. См. Методы для значений параметров.

РИС. 7.

Альтернативный расчет распределения числа случаев COVID-19 в странах мира и округах США. То же, что и для альтернативного алгоритма гистограммы, с использованием гистограммы логарифмически преобразованных номеров наблюдений (см. Приложение A). Левый столбец: расчетная вероятность Px (n) (синие линии и кружки) для страны иметь определенное количество n из (a) подтвержденных случаев (x = C) и (b) подтвержденных смертей (x = D) 22 марта, 2020.Правый столбец: то же самое для 2160 округов США, которые были захвачены коронавирусом 31 марта 2020 года, для (c) подтвержденных случаев и (d) подтвержденных смертей. Вставки: Кумулятивная доля C (n) = ∑m = n + 1NP (m) стран или округов с номером случая m> n.

Мы также вычислили кумулятивную долю C (n) = ∑m = n + 1NP (m) стран с номером случая m> n. Это было получено путем построения графика ранжирования номеров случаев и инвертирования осей, то есть сортировки массива номеров случаев в порядке убывания и построения для каждой страны ранга как функции отсортированного числа случаев на двойных логарифмических осях. ²⁹

ПРИЛОЖЕНИЕ B: МОДЕЛЬ МЕТАПОПУЛЯЦИИ

Чтобы описать пространственно-временную эволюцию распространенности эпидемии во время пандемии, мы разработали концептуальную двухуровневую метапопуляционную модель. Компонент крупномасштабной модели позволяет моделировать распространение вируса в сети из N взаимосвязанных стран (со средней степенью сети k). Состояние страны задается логическим значением: она либо заражена вирусом, либо нет. Модель начинается с одной захваченной страны.Географическое распространение происходит в дискретном времени, каждый шаг соответствует одному дню непрерывной во времени мелкомасштабной модели. На каждом временном шаге не захваченная страна заражается соседними захваченными странами в сети с вероятностью передачи p. Как только в этом процессе в страну вторгся вирус, запускается мелкомасштабная модель для этой страны.

Эта крупномасштабная модель соответствует хорошо известному распространению SI-эпидемии в сети. ³¹ Число захваченных стран растет стохастически и имеет примерно сигмоидальную форму.Если пренебречь эффектами насыщения (то есть в начальной фазе пандемии) и предположить однородное распределение степеней, ожидаемое количество захваченных стран X (t) растет экспоненциально во времени, X (t) = X0exp⁡ (st), с X0 = 1 и показатель степени s = kp. Тогда количество новых вторгшихся стран определяется как X˙ = sexp⁡ (st) и, следовательно, также распределение вероятностей P (τ) для страны, которая подверглась вторжению в некоторый предыдущий момент времени τ≤t, уравнение. (2) экспоненциально растет, P (τ) = cexp⁡ (st). Здесь нормировочный коэффициент равен c = sNexp⁡ (st) / (exp⁡ (st) −1), который определяется условием, что интеграл по времени ∫0tP (τ) dτ = X (t) / N.

В нашем моделировании значения параметров были следующими: количество стран N = 200, степень k = 199 (полностью подключенная сеть) и вероятность вторжения p = 6 × 10−4.

Мелкомасштабная модель является непрерывной во времени и детерминированно описывает динамику эпидемии внутри страны. Модель определяет временной ход восприимчивого S, инфицированного I, восстановленного R и мертвого D из стандартной SIR-модели, ^22,23

S˙ = −βSNpopI, I˙ = βSNpopI − γI, R˙ = ( 1 − m) γI, D˙ = mγI.

(В1)

Здесь Npop — постоянная численность населения в стране, β — частота контактов, 1 / γ — инфекционный период и m — коэффициент летальности.Общее количество случаев определяется как C = I + R + D. В мелкомасштабной модели страны моделируются независимо друг от друга и связаны только с уникальным событием вторжения для каждой страны, которое запускает рост эпидемии в этой стране с начальными значениями S (0) = 5 × 107, I (0 ) = 1 и R (0) = D (0) = 0. Все переменные состояния заражения в стране равны нулю до вторжения вируса, I = R = D = 0. Полученная в результате хорошо известная динамика SIR для отдельной страны показана в. При выбранной параметризации до достижения пика эпидемии требуется примерно 80 дней.По прошествии этого времени, предположение об экспоненциальном росте, уравнение. (3), ломается. Значения параметров были взяты следующие: численность населения страны Npop = 5 × 107, летальность m = 0,01, инфекционный период 1 / γ = 6d, частота контактов β = 0,4d − 1. Это дает скорость роста r = β − γ = 0,23d − 1, соответствующую времени удвоения T1,2 = log⁡ (2) / r = 3d и базовому числу воспроизведения R0 = β / γ = 2,4.

ПРИЛОЖЕНИЕ C: ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ РИСУНОК

Альтернативный расчет распределения числа случаев заболевания COVID-19 в странах мира и округах США.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

17. Джини К., «Variabilita e mutabilita», в Перепечатано в Memorie di Metodologica Statistica , под редакцией Э.Пицетти и Т. Сальвемини (Libreria Eredi Virgilio Veschi, Рим, 1912).

Power Law Behavior — обзор

1 НАПРАВЛЕННЫЕ ПОЛИМЕРЫ

Длинная гибкая эластичная струна, которую называют полимером, имеет несколько характеристик критической системы, демонстрируя поведение степенного закона без особой тонкой настройки [1,2 ]. Важной величиной для полимера является его размер или пространственная протяженность, поскольку длина N становится большой.Для трансляционно-инвариантной системы с одним концом ( z = 0), зафиксированным в начале координат, среднее положение при z = N равно нулю, но размер определяется среднеквадратичным значением

(1) 〈rN〉 = 0, 〈RN2〉 1 / 2∼Nν,

с ν = 1/2, для свободного случая. Подобные степенные законы могут быть определены и в других свойствах. В общем, такие показатели, как показатель размера ν , определяют класс универсальности полимера и зависят только от нескольких основных элементов полимера.Помимо геометрических свойств, обычные термодинамические величины, например свободная энергия (или энергия при температуре T = 0), энтропия и т. д. также важны, особенно если кто-то хочет изучать фазовые переходы.

Степенные законы обычно подразумевают отсутствие в задаче какого-либо масштаба длины. Учитывая микроскопический гамильтониан с его собственными небольшими масштабами длины, такими как длина связи, диапазон взаимодействия и т. Д., Степенные законы возникают только в пределе большого расстояния (большое N ) для термически усредненных величин, которые требуют суммирования по всем возможным конфигурациям.В результате в пределе больших расстояний эти степенные законы становятся нечувствительными к мельчайшим деталям на микроскопическом уровне, что может быть использовано для выбора подходящих упрощенных моделей для описания полимера.

В тепловом равновесии распределение Больцмана в конечном итоге определяет макроскопическое поведение. В большинстве случаев можно избежать проблемы распределения вероятностей, но вместо этого можно сосредоточиться только на первых нескольких, может быть, первых двух моментах или кумулянтах. Например, нужно знать среднюю энергию, энтропию и т. Д., А также различные функции отклика, которые зависят от ширины распределения.Термодинамические описания обычно не выходят за рамки этого.

В случайных физических системах возникает дополнительная проблема. Если случайность не термализуема («подавлена»), любая интересующая величина становится зависимой от реализации. В результате необходимо выполнять дополнительное усреднение беспорядка помимо обычного термического усреднения для каждой реализации. Поэтому необходимо знать, влияет ли это дополнительное усреднение на поведение системы и каким образом.

Критично-подобные системы [3] становятся естественным выбором для изучения эффекта подавленной случайности, поскольку есть надежда, что по крайней мере некоторые свойства будут нечувствительны к мельчайшим деталям случайности.Поскольку для критической системы имеет значение влияние случайности на длинной шкале, оказывается, что критическое поведение будет затронуто, если беспорядок является релевантной переменной. На языке ренормгруппы связь классифицируется как релевантная, нерелевантная или маргинальная , если с увеличением масштаба длины она растет, затухает или остается неизменной, потому что вклад релевантной величины нельзя игнорировать на больших расстояниях, даже если она численно мал для начала.

При соответствующем беспорядке существует очевидная возможность изменения критических свойств (например, нового набора критических показателей). Более сложные ситуации могут включать появление новых или дополнительных весов. Напомним, что подход к критичности чаще всего описывается расходящейся шкалой длин. Разработка описания системы в терминах этого большого масштаба длины носит название теории масштабирования и . Появление любой новой или дополнительной шкалы длины изменило бы соответствующее описание масштабирования.В случае, если можно изменить природу беспорядка с релевантной на несущественную (скажем, путем изменения температуры), тогда произойдет фазовый переход, который не будет иметь аналога в чистой проблеме. Для фазы с преобладанием беспорядка в крупном масштабе возможны редкие события (см. Приложение A), что требует различия между средним значением и типичным (например, наиболее вероятным) значением. В таких ситуациях важными становятся более высокие моменты рассматриваемой величины. Это некоторые из аспектов, которые делают проблемы с расстройствами важными, интересными и трудными.

Проблема полимера в случайной среде была инициирована Чакрабарти и Кертесом [4,5] с применением критерия Харриса. Эта проблема обогатила наше общее понимание полимеров и случайных систем в целом, но до сих пор полное понимание остается труднодостижимым. Неудивительно, что все большее распространение получил поиск более простых задач, отражающих основную сущность исходной сложной системы. В этом контексте направленные полимеры играют очень важную роль.

Давайте определим проблему здесь.Рассмотрим полимер, в котором каждый мономер видит разные, независимые, одинаково распределенные случайные потенциалы. Геометрически это может быть достигнуто, если мономеры живут в отдельных пространствах. Один из способов получить это — рассматривать полимер как размерную струну d + 1 с мономерами в размерных плоскостях d , но соединенными вместе в дополнительном измерении. Как показано на фиг. 1, это полимер, который направлен в одном конкретном направлении. Отсюда и название направленный полимер [6-9].

Рис. 1. (a) Случайное блуждание в размерах d с z в качестве переменной вдоль контура полимера, т.е. определяющей расположение мономеров. (б) Направленный полимер на квадратной решетке. Полимер по пункту (а) может быть вытянут в размерах d + 1. Это похоже на путь квантовой частицы в нерелятивистской квантовой механике. (c) Ситуация, когда и поперечное пространство (r), и z являются непрерывными. (d) Направленные полимеры на иерархической решетке.Для 4 связей показаны три поколения. (e) Общий мотив 2 b облигаций.

Для направленного полимера размер теперь будет относиться к размеру в поперечном d -направлении, и поэтому по формуле (1) относится к поперечному размеру как к увеличению длины в специальном направлении z . Для достаточно длинных цепей именно этот размер имеет значение и входит в описание масштабирования.

Значение направленного полимера заключается в том, что чистая система очень хорошо изучена и точно решается во всех измерениях, в то время как случайная проблема может быть решена несколькими различными способами, что в большинстве случаев недоступно.

Два типа случайности могут возникать в контексте направленных полимеров. Один тип предполагает наложение случайного внешнего потенциала (проблема случайной среды). Во втором типе взаимодействие (скажем, между двумя цепочками) является случайным (модель RANI). В задаче случайной среды случайный потенциал хотел бы иметь основное состояние, зависящее от реализации, которое может не совпадать с состоянием нулевого поля. В модели RANI случайность во взаимодействии может привести к изменению поведения фазового перехода, проявляемого полимерами.Эти два класса обсуждаются отдельно.

Распределения по степенному закону

Степенные распределения в эмпирических данных

Эта страница является компаньоном для SIAM Обзор статьи о степенных распределениях эмпирических данных, написанной Аарон Клаузет (я), Косма Р. Шализи и M.E.J. Новичок.

На этой странице размещены реализации методов, описанных в статье, в том числе несколько авторов, отличных от нас. Наша цель состоит в том, чтобы методы быть широко доступным для сообщества.

Пользователи Python должны ссылаться на пакет powerlaw от Alstott et al. Пользователи
R должны обращаться к пакету poweRlaw от Gillespie

ПРИМЕЧАНИЕ: мы не можем предоставить техническую поддержку для кода, написанного не нами, и сейчас мы заняты другими проектами и поэтому не можем оказывать поддержку нашим собственным код.

Ссылки на журналы
А. Клаузет, К.Р. Шализи и М.Э.Дж. Ньюман, «Степенные распределения в эмпирических данных» Обзор SIAM 51 (4), 661-703 (2009).(arXiv: 0706.1062, doi: 10.1137 / 070710111)

Ю. Виркар, А. Клаузет, Степенные распределения в бинированных эмпирических данных. Анналы прикладной статистики 8 (1), 89 — 119 (2014). (arXiv: получить код)

Генераторы случайных чисел
Эта функция генерирует непрерывные значения, случайно распределенные в соответствии с одно из пяти распределений, рассмотренных в статье (степенной закон, экспоненциальный, логнормальный, растянутый экспоненциальный и степенной закон с отсечкой).Информация об использовании включена в файл; введите ‘help randht’ в Matlab запросить дополнительную информацию.
randht.m (Matlab, Аарон Клаузет)
randht.py (Python, Джоэл Орнштейн)

Подбор степенного распределения
Эта функция реализует как дискретное, так и непрерывное максимальное правдоподобие. оценки для подгонки степенного распределения к данным, а также подход на основе согласия к оценке нижнего порога масштабирования область, край. Информация об использовании включена в файл; введите «help plfit» в Подсказка Matlab для получения дополнительной информации.
plfit.m (Matlab, Aaron Clauset)
plfit.r (R, by Laurent Dubroca)
plfit.py (Python, by Adam Ginsburg)
plfit.c (C ++, Wim Otte; включает plvar.c)
plfit.c (C ++, от Тамаса Непуша)
plfit.py (Python, от Джоэла Орнштейна)

Визуализация подобранного распределения
После нескольких запросов я написал эту функцию, которая строит графики (в журнале осей) эмпирическое распределение вместе с подобранным степенным распределением. Информация об использовании включена в файл; введите ‘help plplot’ в Matlab запросить дополнительную информацию.
plplot.m (Matlab, Аарон Клаузет) plplot.py (Python, Джоэл Орнштейн)

Оценка неопределенности подобранных параметров
Эта функция реализует непараметрический подход для оценки неопределенность в оценочных параметрах для степенной аппроксимации, найденной функция plfit. Он также реализует как непрерывную, так и дискретную версии. Применение информация включена в файл; введите ‘help plvar’ в командной строке Matlab для дополнительной информации.
плвар.m (Matlab, Аарон Клаузет)
plvar.c (C ++, Вим Отте; включает plfit.c)
plvar.py (Python, Джоэл Орнштейн)

Вычисление p -значения для подобранной степенной модели
Эта функция реализует тест Колмогорова-Смирнова (который вычисляет p -значение оценочного степенного закона, соответствующего данным) для степенного закона модель. Как и выше, он также реализует как непрерывную, так и дискретную версии тест. Информация об использовании включена в файл; введите «help plpva» в Подсказка Matlab для получения дополнительной информации.
plpva.m (Matlab, автор Aaron Clauset)
plpva.r (R, автор Laurent Dubroca; изменен Нилом Уолфилдом)
parplpva2.m (Matlab, автор Casper Peterson, использует Parallel Toolbox)
plpva.py (Python, by Джоэл Орнштейн)

Дзета-функция Римана
Дискретный оценщик должен вычислить дзета-функцию Гурвица для нормализация. Matlab включает эту функцию в Symbolic Math Toolbox (но имейте в виду, что их реализация становится нестабильной для больших альфа- и xmin, e.g., альфа> 7 при xmin> 150). Также доступны бесплатные версии, если у вас нет этого набора инструментов. Например, Пол Годфри библиотека специальных функций (через Matlab Central File Exchange) предоставляет одну, которую мы зеркало здесь (обратите внимание, вам понадобятся оба этих файла; совет Уиллу Трейси).
deta.m (Matlab, Paul Godfrey)
zeta.m (Matlab, Paul Godfrey)

Расчет результатов теста отношения правдоподобия
Функции, необходимые для вычисления тестов логарифмического отношения правдоподобия: реализовано в статистическом программировании язык R.Документация по этим функциям вынесена в отдельный файл, а сами функции R находятся в загружаемом файле tgz (примечание: это еще не подходящий пакет R).
Документация
Код R (Косма Шализи)

Загрузить все файлы
Получите самые последние версии полных реализаций.
Загрузить все файлы Matlab и R (от Аарона Клаузета и Космы Шализи)
Загрузить пакет Python (от Джеффа Алстотта)
Загрузить пакет Python (2.6) (от Хавьера дель Молино Матамала)
Загрузить пакет Java (от Питера Блума)
Загрузить R пакет (от Колина Гиллеспи)

Примечание Совместимость с Matlab
Для функций Matlab, написанных мной (Аароном), все они были разработаны для быть совместимым с Matlab v7.Они не обязательно совместимы с старые версии Matlab. При этом должно быть возможно сделать их совместимы, поскольку основные функции не зависят от функций v7.

Примечание об ошибках и альтернативных реализациях
Приведенный здесь код предоставляется как есть, без гарантии, без каких-либо гарантий технической поддержки или обслуживания и т. д. Если у вас возникнут проблемы во время используя код, сообщите автору (-ам) по электронной почте.Я рад принять у себя (или ссылка на) реализации любой из этих функций в другом программировании языков в интересах облегчения их более широкого использования. Однако я не могу предоставить техническую поддержку для этого кода. Исходные функции pl * (Matlab) были написаны Аароном Клаузе и LRT. функции (R) были написаны Космой Шализи; все другие языки реализации были написаны членами более широкого сообщества.
Наконец, если вы используете наш код в академической публикации, он будет любезно с вашей стороны поблагодарить меня (Аарона) и Косму за вашу благодарность за предоставляя вам реализации методов.Если вы используете реализации других авторов, вы должны признать их вместо этого.

Обратите внимание на наборы данных
24 набора данных, которые мы изучили в статье, были взяты из литературы, и соответствующие цитаты даны в статье. Вы можете найти гораздо более подробную информацию информация, включая ссылки для загрузки многих наборов данных, здесь.

Примечание об учебных пособиях по методам
В настоящее время у нас нет какой-либо учебной информации по установке или использованию эти методы, помимо того, что мы описываем в статье и что содержится в файлы справки, которые идут вместе с файлами Matlab и R.Это существо сказал, InterSciWiki в Калифорнийском университете в Ирвине а хорошая обзорная обучающая страница, которая может быть полезна, и Вилли Лай имеет создал хорошая страница с кодом R, которая работает на нескольких примерах.

Обновления
6 декабря 2012 г. : добавлена ​​ссылка на пакет R от Колина Гиллеспи.
30 ноября 2012 г. : заменен plpva.r на обновленную версию Нила Уолфилда.
2 августа 2012 г. : ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ, используемая здесь реализация дзета-функции нестабильна для больших значений альфы (> 7) (спасибо Дэвиду Глайху за указание на это).Если он вам нужен для этого диапазона, подумайте об использовании лучшей библиотечной функции для функции Hurwitz Zeta.
17 января 2012 г. : исправлена ​​небольшая ошибка в способе синтаксического анализа аргументов nowarn и nosmall с помощью plfit, plvar, plpva.
24 августа 2011 : выложил обновленную версию plfit.r, по запросу его автор Лоран Дуброка.
4 августа 2011 г. : опубликованы порты Python Джоэла Орнштейна для plfit, plvar, plpva и plplot.
8 октября 2010 г. : заменен plfit.r с новой версией, по просьбе ее автора Лорана Дуброка.
24 января 2010 г. : исправлена ​​небольшая ошибка в том, как plfit.m сообщает логарифмическую вероятность подобранных данных для дискретного случая после выбора xmin; опубликовал обновленную версию кода Вима Отте с тем же исправлением.
27 ноября 2009 г. : опубликовал C ++ реализацию plfit и plvar Вима Отте.
1 октября 2009 г. : добавлена ​​опция в plfit, plvar и plpva для «блокировки» xmin на определенное значение (спасибо Полу Виллемсу за предложение).
27 августа 2009 г. : опубликована реализация plfit на Python Адама Гинзбурга.
13 августа 2009 : создана новая страница с подробной информацией о получении копий 24 изученных нами наборов эмпирических данных.
12 августа 2009 г. : исправлена ​​небольшая ошибка в R-версии plfit, из-за которой результаты немного не согласуются с результатами из версии Matlab (спасибо Naoki Масуда за указание на это).
17 марта 2009 г. : исправлена ​​небольшая ошибка в R-версии plfit, которая приводила к вернул некорректную статистику KS при xmin = 1 (спасибо Джеффу Стакману за указывая на это).
7 февраля 2009 г. : блок try-catch в целой части plfit теперь по умолчанию равен итеративная версия, если блок try когда-либо терпит неудачу (спасибо Радживу Дасу за предложение).
25 апреля 2008 г. : параметры randht, plpva и plvar изменены так, чтобы генератор псевдослучайных чисел при их первом вызове.
5 марта 2008 г. : в целочисленных подпрограммах plfit, plvar и plpva теперь автоматически переключитесь на более медленную, но более эффективную с точки зрения памяти процедуру оценки, когда векторизованный процедура по умолчанию не работает (например,g., ошибка нехватки памяти, когда max (x) очень велико).
29 февраля 2008 г. : опубликована реализация plfit от Laurent Dubroca на R.
17 февраля 2008 г. : опубликована функция plplot.m для построения подогнанных степенные распределения по эмпирическим данным.
30 января 2008 г. : исправлена ​​опечатка в plpva при использовании скрытой опции «образец» и переупорядочил команды для ‘limit’ и ‘sample’ повсюду (спасибо Klaas Dellschaft для предложений).
28 сентября 2007 г. : исправлена ​​опечатка при разборе аргументов для randht.м, значительный повышение эффективности процедуры оценки xmin в plfit.m, plpva.m и plvar.m (спасибо Джиму Багроу за предложения).
7 сентября 2007 г. : исправлена ​​промежуточная отчетность в плпва.м; поменял плфит.м, plvar.m и plpva.m для преобразования входного вектора в формат столбца и предотвращения использования непрерывное приближение в режиме малой выборки для дискретных данных.
25 июля 2007 г. : исправлена ​​опечатка в plvar.m, опечатка в pareto.R, опечатка в логарифмическая вероятность для дискретного отключения powerlaw и исправлена ​​небольшая ошибка в построении графика рутина.
29 июня 2007 г. : исправлена ​​опечатка в plpva.m, опечатка в pareto.R и обновлено инструкции по компиляции в discpowerexp.R.

Power Law — обзор

1 Напряжение текучести поликристаллического железа

Деформационное упрочнение : Для деформаций примерно до 0,3 степенной закон вида:

(1) σ = Kɛn

является разумным приближением кривые истинное напряжение – истинная деформация, полученные при испытании на растяжение. Показатель n увеличивается с размером зерна.Моррисон (1966) обнаружил, что в интервале составов углерода 0,005–0,20% эту зависимость можно описать эмпирическим соотношением:

(2) n = 5 / (10 + d − 1/2)

, где d — размер зерна в мм. Он также обнаружил, что константа коэффициента прочности K зависит от содержания углерода, а также от размера зерна. Для 0,05% углерода

(3) K = 645 + 14d − 1/2 МПа

Аппроксимация степенного закона хорошо работает для различных путей деформации при низких деформациях. Однако он не описывает данные о высоких деформациях, полученные при волочении проволоки, кручении или прокатке.При высоких деформациях изменения кристаллографических текстур могут вызывать большие отклонения от степенного закона. Лэнгфорд и Коэн (1969) обнаружили, что для осесимметричной деформации, вызванной волочением проволоки, деформационное упрочнение линейно от 1 до 10 (рис. 3). Их данные показывают, что для деформаций более 2 напряжение течения в мегапаскалях может быть аппроксимировано следующим образом:

Рисунок 3. Напряжение течения тянутой железной проволоки линейно увеличивается с деформациями выше 2 (по Лэнгфорду и Коэну 1969).

(4) σ = 260 + 160ɛ

Легирование увеличивает точку пересечения, но существенно не меняет наклон. Влияние кристаллографической текстуры на течение в осесимметричном потоке обсуждается позже. Деформационное упрочнение отличается при других путях нагружения при высоких деформациях из-за возникающих различных текстур. Для деформации при кручении и при плоской деформации напряжение течения отклоняется от линейности выше деформаций 2.

Скорость деформации : Повышенная скорость деформации приводит к увеличению всей кривой зависимости напряжения от деформации.Для математического моделирования поведения потока часто используется приближение степенного закона для напряжения течения при постоянной температуре и деформации:

(5) σ = Kɛ˙m

, где показатель скорости деформации, м , колеблется от примерно От 0,005 до 0,015. Это уравнение подразумевает, что изменение скорости деформации вызывает изменение:

(6) Δσ / σ = mΔ (lnɛ˙)

Более точное описание влияния скорости деформации:

(7) σ = m′ln (ɛ˙ / ɛ˙o) + C

или

(8) Δσ = m′Δ (lnɛ˙)

, что означает, что увеличение скорости деформации в некоторый раз повышает уровень кривой напряжения-деформации на величину на ту же сумму, а не на тот же коэффициент.В диапазоне температур 0 < T <300 K м ′ составляет около 5 МПа. Зависимость напряжения течения от температуры и скорости деформации аналогична таковой для монокристаллов.

Размер зерна : Влияние размера зерна на предел текучести адекватно описывается соотношением Холла – Петча:

(9) σy = σo + Kd − 1/2

В диапазоне содержания углерода K = 18 МПа ^1/2 и σ _o ∼80 МПа (Моррисон, 1966).

Предел текучести и деформационное старение : Во время испытания на растяжение отожженного железа, как только в каком-то месте возникает начальная текучесть, происходит внезапное падение напряжения до более низкого предела текучести (рис.4). Дальнейшее растяжение происходит при более или менее постоянном напряжении за счет распространения деформирующей ленты в недеформированный материал. Только после того, как вся калибровочная часть была пластически деформирована, деформационное упрочнение вызывает увеличение напряжения.

Рис. 4. Кривая напряжение-деформация железа, содержащего промежуточные элементы. Если образец выгружается и сразу загружается повторно, новый предел текучести отсутствует. Однако деформационное старение приведет к новому пределу текучести.

Этот эффект прерывистой текучести вызван притяжением межузельных атомов к краевым дислокациям.Они понижают энергию дислокаций, частично снимая гидростатическое натяжение ниже дополнительной полуплоскости, поэтому для освобождения дислокаций от этих растворенных атомов требуется более высокое напряжение, чем требуется для их перемещения, когда они свободны. После того, как дислокации оторвались от межузельных слоев, продолжающаяся деформация и деформационное упрочнение происходят по всему образцу при растяжении. Поскольку верхний предел текучести очень чувствителен к осевому выравниванию образца, нижний предел текучести используется для характеристики прочности, но он чувствителен к скорости деформации.

После разгрузки деформационное старение за счет диффузии межузельных атомов в новые места дислокаций может привести к возврату предела текучести. Кинетика контролируется скоростью диффузии межузельных частиц. При 200 ° C диффузия происходит достаточно быстро, поэтому во время испытания на растяжение может происходить динамическое деформационное старение. В этом диапазоне температур чувствительность к скорости деформации отрицательна.

Растворы замещения : Растворенные замещения легирующие элементы обычно повышают предел текучести при комнатной температуре и выше.Ниже 200 К может происходить размягчение твердого раствора (Leslie, 1972). На рис. 5 показано изменение прочности для 1,5 ат.% Растворенного вещества.

Рис. 5. Отверждение и размягчение твердого раствора, вызванное 1,5 ат.% Растворенного вещества (по Лесли, 1972 г.).

Текстура деформации : текстуры деформации железа аналогичны текстуре других b.c.c. металлы. Осесимметричное удлинение (волочение проволоки) дает прочную текстуру волокна 〈011〉, а аксиально-симметричное сжатие дает дуплексную текстуру с 〈100〉 и 〈111〉, параллельными оси сжатия.Полярная фигура (110) для деформации плоской деформации (плоская прокатка) (Leslie 1961) показана на рис. 6. Текстуру можно описать как 〈110〉 {001} с поворотом на ± 35 ° вокруг 〈110〉. направление качения. Текстура волокна 〈011〉 в вытянутых проволоках оказывает сильное влияние на микроструктуру. Это проиллюстрировано на рис. 7. Когда [011] выровнен с осью проволоки, только два из четырех направлений скольжения 〈111〉, [111] и [1̄11], ориентированы для дальнейшего удлинения.

Рис. 6. Полюсная диаграмма (110) для чугуна, подвергнутого холодной прокатке с обжатием на 90% (после Leslie 1961).

Рис. 7. Схематическое изображение ориентации направлений скольжения в проволоке с текстурой волокна 〈011〉. Скольжение в направлениях [111] и [11―1] вызывает сжатие, параллельное [100], но не параллельное [011―].

Два других, [1̄1̄1] и [11̄1], лежат под углом 90 ° к оси растяжения [110]. При проскальзывании первых двух возникает боковое сжатие, параллельное [100], но не параллельное [01̄1]. Таким образом, как только текстура сформирована, дальнейшая деформация приводит к образованию зерен в форме ленты, которые могут сохранять совместимость друг с другом только за счет завивки друг вокруг друга.То же верно и для субзерен. На рисунках 8 (Пек и Томас, 1961) и 9 (Лангфорд и Коэн, 1969) показаны формы зерен и субзерен в сильно вытянутой железной проволоке.

Рис. 8. Фигурная зернистая структура, наблюдаемая на поперечном сечении железной проволоки, вытянутой до 87% обжатия (по Peck and Thomas 1961).

Рис. 9. Электронная микрофотография поперечного сечения, показывающая субзерен в железной проволоке, натянутой до истинной деформации 2,7 (по Лэнгфорду и Коэну 1969).

Текстуры рекристаллизации : Только незначительные изменения текстуры вызваны рекристаллизацией проволоки и текстурами сжатия.Однако рекристаллизация вызывает серьезные изменения текстуры листов, получаемых при прокатке. Основной текстурный компонент формируется с {111}, параллельным плоскости прокатки. Относительные количества текстурных компонентов {100} и {111} зависят от степени восстановления перед отжигом (Blickwede 1969). На рисунке 10 показано, что количество {111} увеличивается с увеличением сокращения примерно до 90%. Относительные количества {111} и {100} также зависят от температуры перекристаллизации.

Рисунок 10.Зависимость текстуры рекристаллизации и R― от обжатия при прокатке перед отжигом (по Blickwede 1969).

Коэффициент пластической деформации, или значение R , определяется как отношение сократительных деформаций при испытании на растяжение полосы, вырезанной из листа.

(10) R = ɛw / ɛt

, где ε _w и ε _t — сжимающие деформации в направлении ширины и толщины. Присутствие {111} имеет тенденцию к увеличению среднего значения R , R―, в то время как {100} снижает его, как показано на рис.10. Для операций формования листов желателен высокий R. Значения от R до 2 были достигнуты за счет оптимизации методов холодной прокатки и отжига.

Разрушение : вязкость разрушения феррита заметно снижается при понижении температуры. Для ударного нагружения существует температура перехода, ниже которой при разрушении поглощается мало энергии. Эта температура зависит от размера зерна и примесей материала, а также от формы испытуемого образца и скорости нагружения.

Аналогичная потеря пластичности наблюдается при испытании на растяжение. При комнатной температуре разрушение ферритов при растяжении является пластичным и происходит из-за образования шейки. При понижении температуры напряжение разрушения увеличивается (Hahn и др. , 1959) (рис. 11). Наблюдается некоторое расщепление (область B). При критической температуре T _d пластичность резко падает (область C). Ниже этой температуры очень небольшая деформация предшествует разрушению скола. Напряжение разрушения падает до уровня, необходимого для пластической деформации.Точная температура, при которой происходят эти изменения, увеличивается с размером зерна и содержанием углерода в железе.

Рис. 11. Поведение феррита при растяжении при разрушении при низких температурах. Раскол происходит при уступе ниже T _м . Выше T _d образование шейки происходит до перелома (после Hahn et al .1959).

Основы науки о данных: степенные законы и распределения

Законы мощности — мощный класс инструментов, которые могут помочь нам лучше понять мир вокруг нас.

Также известные как законы масштабирования, степенные законы по существу подразумевают, что небольшое количество проявлений некоторых явлений является частым или очень обычным явлением, в то время как большое количество таких же явлений является нечастым или очень редким; точное соотношение между этими относительными частотами различается в зависимости от степенного распределения. Некоторые из широкого спектра естественных и антропогенных явлений, которые могут описывать степенные законы, включают неравенство доходов, частоту слов на определенном языке, размеры городов, размеры веб-сайтов, магнитуды землетрясений, рейтинги продаж книг и популярность фамилий.

Всезнающая Википедия более формально определяет степенной закон следующим образом:

[A] степенной закон — это функциональная связь между двумя величинами, где относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от начального размера этих величин: одна величина изменяется как степень другой.

Сравните это понятие с колоколообразными кривыми, такими как нормальное распределение, которое также точно описывает или аппроксимирует многочисленные явления.

Вот несколько очень простых примеров степенных законов:

• увеличение x на 1 и последующее (и всегда) увеличение y на 3
• площадь квадрата (длина стороны увеличивается вдвое, площадь увеличивается в четыре раза)
• частота слов в английском языке (закон Ципфа; см. Ниже)

В этом посте будет представлен обзор некоторых наиболее популярных степенных законов и приведены примеры того, что они описывают, и мы надеемся привлечь к ним внимание новых практиков в области науки о данных.Почему? Что ж, чем больше способов мы исследуем, изучаем, приближаемся и ценим наши данные, тем выше шансы, что мы сможем их понять, поделиться ими и, в конечном итоге, помочь другим понять их.

Закон Ципфа

Ципфа, названный в честь лингвиста Джорджа Кинглси Ципфа, изначально предназначался для описания взаимосвязи между частотами слов в коллекциях документов. Что он делает весьма замечательно. Если слова коллекции документов упорядочены по частоте и y используется для описания количества раз, когда появляется слово x , наблюдение Ципфа кратко фиксируется как y = cx ^-1/2 (элемент частота обратно пропорциональна рангу элемента).

Любопытно, что закон Ципфа на самом деле описывает или аппроксимирует целый ряд явлений, выходящих за рамки частотности слов. Известные примеры включают численность населения городов в различных странах и численность населения штатов США.

По частоте ошибок видно, что это не идеально, но является разумным приближением.

Принцип Парето (также известный как Правило 80/20)

Принцип Парето, названный в честь экономиста Вильфредо Парето, утверждает, что можно приблизительно сказать, что 80% последствий некоторых конкретных явлений являются результатом 20% причин этих явлений.Фактический степенной закон, связанный с этим принципом, — это распределение Парето, которое описывает, среди прочего, частоту ошибок жесткого диска, размеры населенных пунктов, размеры метеоритов и обнаружение запасов нефти.

Парето первоначально использовал этот принцип для известного описания распределения богатства, подразумевая, что большая часть (80%) общественного богатства контролируется меньшинством (20%) его членов. Точные цифры могут изменяться, но этот принцип все еще применяется и тщательно исследуется в экономике сегодня.

Закон Лотки

Закон Лотки, названный в честь математика Альфреда Лотки, описывает частоту публикаций автора в данной академической области. Закон гласит, что количество авторов, сделавших x научных работ за определенный период времени, является долей от количества авторов, сделавших только один взнос; наблюдение: 1 / x ^a , где a очень близко к 2 (но зависит от академической дисциплины). В результате мы можем приблизительно рассчитать, что 1/4 числа авторов публикует 2 статьи, чем одна статья, 1/9 часть авторов публикует 3 статьи, 1/16 публикует 4 статьи и так далее.

Ни один из вышеперечисленных известных законов не затрагивает следующие явления, которые также приблизительно описываются степенными законами и собственными обычными показателями отношений, которые я призываю вас искать:

• Продажи продукции
• Степени узлов веб-графа
• Размеры веб-сайтов

Длинный хвост , популяризированный Крисом Андерсоном в одноименной статье и последующей книге Wired 2004 года, является проявлением определенных типов степенных законов.Если вы дочитали до этого места и все еще не можете понять, как степенные законы могут иметь практическое применение в науке о данных (или даже в более широком смысле), я предлагаю вам изучить эту конкретную концепцию дальше, которая не так революционна, как ее » открытие »и популяризация предполагают, но помогают сформировать и применить разговор.

Существует множество степенных законов. Кроме того, между явлениями в мире существует множество других взаимосвязей. Исследование и понимание как можно большего числа взаимосвязей может быть очень полезным для специалистов по данным, стремящихся разобраться в данных, которые они изучают, и выразить их в терминах, понятных другим.Однако остерегайтесь обратной стороны; не все отношения могут быть аппроксимированы как таковые, и попытка навязать данные в искусственном описании может ввести в заблуждение. Законы силы (и описательные отношения в целом) следует рассматривать как еще один потенциальный инструмент, имеющийся в вашем распоряжении.